[BZOJ5285][Hnoi2018]寻宝游戏（乱搞？？？）

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Solution

乍一看觉得很不可做。
我们来仔细分析 $\text{AND}$ 和 $\text{OR}$ 的性质。
把每一位拆开分析，可以发现：
（1）无论一位是 $0$ 还是 $1$ ，执行 $\text{AND }0$ 操作后此位一定变成 $0$ ，并且让 $1$ 变 $0$ 的唯一途径是 $\text{AND }0$ 。
（2）无论一位是 $0$ 还是 $1$ ，执行 $\text{OR }1$ 操作后此位一定变成 $1$ ，并且让 $0$ 变 $1$ 的唯一途径是 $\text{OR }1$ 。
于是得出，设要求计算结果的第 $i$ 位为 $x$ ，那么
（1） $x=1$ 等价于计算过程中必须有一个 $\text{OR }1$ ， 并且最后一个 $\text{OR }1$ 后面不能出现 $\text{AND }0$ 。
（2） $x=0$ 等价于计算过程中没有 $\text{OR }1$ ，或者最后一个 $\text{OR }1$ 后面必须出现 $\text{AND }0$ 。
接下来就是思路点：把运算符序列看作 01 序列，右边（第 n 位）为最高位， AND 为 1 ， OR 为 0 ，然后把每一位也看作一个 01 序列，右边为最高位，第 i 位所表示 01 序列的第 j 位为第 j 个操作数的第 i 位。
那么，设操作序列所表示的 01 序列为 $A$ ，第 $i$ 位操作数表示的 01 序列为 $S_i$ ，那么易得：
（1） $x=1$ 等价于 $A<S_i$ 。
（2） $x=0$ 等价于 $A\ge S_i$ 。
于是问题转化成： $m$ 个 $n$ 位二进制数，第 $i$ 个数为 $S_i$ ，每次询问，对于每个 $1\le i\le m$ ，给出 $A$ 必须小于或者大于等于 $S_i$ 的限制，求满足所有 $m$ 个限制的 $n$ 位二进制数 $A$ 的个数。
将 $S$ 排序之后，可以扫一遍询问给出的 $m$ 个限制条件，得到形如 $X\le A<Y$ 的唯一限制。（设 $S$ 排序之后 $X=S_l$ ， $Y=S_r$ ）
如果 $X\ge Y$ （即 $l\ge r$ ），那么不存在这样的 $A$ 。询问结果为 $0$ 。
否则询问结果为 $Y-X$ 。可利用类似于高精度的方式计算。

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define Rof(i, a, b) for (i = a; i >= b; i--)
using namespace std;
inline char read() {char c; while ((c = getchar()) != '0' && c != '1'); return c;}
const int N = 1005, M = 5005, W = 180, PYZ = 1e9 + 7;
int n, m, q, a[N][M], id[M], b[M][W], to[M];
inline bool comp(const int &x, const int &y) {
    int i; For (i, 1, (n - 1) / 31 + 1) if (b[x][i] != b[y][i])
        return b[x][i] < b[y][i]; return 0;
}
int calc(int l, int r) {
    int i, suml = 0, sumr = 0, bas = 1; For (i, 1, n + 1) {
        if (a[i][id[l]]) suml = (suml + bas) % PYZ;
        if (a[i][id[r]]) sumr = (sumr + bas) % PYZ; bas = 2 * bas % PYZ;
    }
    return (sumr - suml + PYZ) % PYZ;
}
int main() {
    int i, j; cin >> n >> m >> q; For (i, 1, n) For (j, 1, m)
        a[i][j] = read() - '0'; a[n + 1][m + 1] = 1;
    For (i, 1, m) Rof (j, n, 1) if (a[j][i]) b[i][(n - j) / 31 + 1]
        |= 1 << 30 - (n - j) % 31; For (i, 1, m) id[i] = i;
    sort(id + 1, id + m + 1, comp); For (i, 1, m) to[id[i]] = i;
    id[m + 1] = m + 1; while (q--) {
        int l = 0, r = m + 1; For (i, 1, m)
            if (read() == '1') r = min(r, to[i]); else l = max(l, to[i]);
        if (l >= r) puts("0"); else printf("%d\n", calc(l, r));
    }
    return 0;
}