Description
jyy就一直想着尽快回地球,可惜他飞船的燃料不够了。
有一天他又去向火星人要燃料,这次火星人答应了,要jyy用飞船上的瓶子来换。jyy的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ,经过协商,火星人只要其中的K 个 。 jyy将 K个瓶子交给火星人之后,火星人用它们装一些燃料给 jyy。所有的瓶子都没有刻度,只在瓶口标注了容量,第i个瓶子的容量为Vi(Vi 为整数,并且满足1<=Vi<=1000000000 ) 。 火星人比较吝啬,他们并不会把所有的瓶子都装满燃料。他们拿到瓶子后,会跑到燃料库里鼓捣一通,弄出一小点燃料来交差。jyy当然知道他们会来这一手,于是事先了解了火星人鼓捣的具体内容。火星人在燃料库里只会做如下的3种操作:1、将某个瓶子装满燃料;
2、将某个瓶子中的燃料全部倒回燃料库;3、将燃料从瓶子a倒向瓶子b,直到瓶子b满或者瓶子a空。燃料倾倒过程中的损耗可以忽略。火星人拿出的燃料,当然是这些操作能得到的最小正体积。
jyy知道,对于不同的瓶子组合,火星人可能会被迫给出不同体积的燃料。jyy希望找到最优的瓶子组合,使得火星人给出尽量多的燃料。
Input
第1行:2个整数N,K,
第2..N 行:每行1个整数,第i+1 行的整数为Vi
Output
仅1行,一个整数,表示火星人给出燃料的最大值。
Sample Input
3 2
3
4
4
Sample Output
4
HINT
选择第2 个瓶子和第 个瓶子,火星人被迫会给出4 体积的容量。
裴蜀定理是一个关于最大公约数(或最大公约式)的定理,裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。
裴蜀定理的具体内容如下:
若a,b是整数,且 ,那么对于任意的整数 都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数 ,使 成立。
它的一个重要推论是: 互质的充要条件是存在整数 使 .
裴蜀定理可以用欧几里德算法来证明(也就是辗转相除法)不想看的可以直接翻后面
只证a和b均不为0的情况即可,且无妨假设a和b均大于0。
记 , 对 ,两边同时除以 ,可得 ,其中 。
转证 。由带余除法:
① , 其中
② , 其中
③ , 其中
…..
④
⑤
⑥
⑦
故,由⑦和⑥推出
再结合⑤推出
再结合④推出
…..
再结合③推出
再结合②推出
再结合①推出
证毕。
现在我们回到题目。由于裴蜀定理,我们可以发现:用容量为 和 瓶子互相倒,那么最终能倒出的最小值就为
很显然,这个可以由 一定为d的倍数,而最小正倍数就是d。并且必定存在整数 ,使 成立这两个定理来证明。所以题目就变成了: 个数里面选择 个数,使他们的 最大。由于题目的数据范围,这道题就变得十分简单,我们只要用 来分解所有的因数,然后用map记录即可。
#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 1005
#include<map>
using namespace std;
int read(){
char c;int x=0,y=1;while(c=getchar(),(c<'0'||c>'9')&&c!='-');
if(c=='-') y=-1;else x=c-'0';while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')
x=x*10+c-'0';return x*y;
}
int n,k,f[MAXN],re[5000005],top,ans;
map<int,int> a;
int main()
{
n=read();k=read();
for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j*j<=f[i];j++){
if(f[i]%j!=0) continue;
if(!a[j]) re[++top]=j;a[j]++;
if(!a[f[i]/j]) re[++top]=f[i]/j;a[f[i]/j]++;
if(j*j==f[i]) a[j]--;
}
for(int i=1;i<=top;i++)
if(a[re[i]]>=k) ans=max(ans,re[i]);
printf("%d",ans);
return 0;
}
BZOJ的第100道AC,纪念一下!