Pollard’s Rho算法

对于质因数分解，我们一般有试除法，欧拉筛等，但对于大于1e13的数来说，内存显然是不够的，所以这就让人很是苦恼，还好，有一个随机算法：Pollard’s Rho算法
解释：要分解n，要先判断n是否是质数，若是则返回本身至于如判断，则用Miller–Rabin素数检测法，这里就不细说了（链接），否则，对于两个整数x，y来说，是n约数的几率很小，但是他们的差是n约数的几率还是有的，并且x，y还是一直在变得，所以只要计算的多了，有很大几率得到n的约数，对于x，y，一般令x1=y1，然后xn=（x（n-1）+c）%mod，y随之变化，当gcd（abs(x-y)，n）！=1时，则返回abs（x-y），否则就继续下去，具体见代码。理论时间复杂度为O(sqrt(sqrt（n））)，看上去O(玄学)。

//判断
long long power(long long a,long long b,long long num){//快速幂取余
    long long r=1;
    a=a%x;
    while(b){
        if(b%2) r=r*a%x;
        a=a*a%x;
        b/=2;
    }
    return r%x;
}
bool pd(long long num){
    if(num==1) return false;
    if(num==2) return true;
    if(num%2==0) return false;
    srand(time(NULL));
    for(int i=1;i<=100;i++){
        long long y=rand(),k=num-1;
        if(power(y%num,num,num)!=y%num) return false;
        while(k==(k/2)*2){
            long long l=power(y,k);
            if(l==num-1) return true;
            if(l==1) k/=2;
            else return false;
        }
    }
    return true;
}
//因为在乘法时有可能爆最大值，所以要用快速乘
int mul(int x,int y,int c){
    x%=c,y%=c;
    int r=0;
    while(y){
        if(y&1){
            r=r+x;
            if(r>=c) r-=c;
        }
        x=x+x;
        if(x>=c) x-=c,y/=2;
    }
    return r;
}
int pollard(int n,int c) {//c是一个随机数
    int x,y,d,i=1,k=2;
    y=x=1LL*rand()*rand()%(n - 1)+1;
    while(1){
        x=(mul(x,x,n)+c)%n;
        d=gcd((x-y+n)%n,n);
        if(d>1&&d<n) return d;
        //所选c的不好,此时x取值为一个环，返回主程序，然后重新选
        if(x==y) return -1;
         //随时更新y，否则或许会死循环
        if (++i==k) k<<=1,y=x;
    }
    return 0;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    p=-1;
    while(p==-1) p=pollard(N, 1LL*rand()*rand()%(n - 1)+1);
    cout<<p<<endl;
    return 0;
}