带通信号的表示
假设一个带通的时域信号为\(s_p(t)\)，其时域表达为$$s_p(t)=\operatorname{Re}\{s(t)e^{2\pi f_ct}\}$$
其中，\(s(t)=s_r(t)+js_i(t)\)是复数基带信号，\(s_r(t)\)和\(s_i(t)\)分别是实部和虚部，\(f_c\)是载波频率。
根据欧拉公式
$$e^{jx}=cosx+jsinx$$
可以得到
$$s_p(t)=\operatorname{Re}\{(s_r(t)+js_i(t))(cos2\pi f_ct+jsin2\pi f_ct)\}$$
$$=\operatorname{Re}\{(s_r(t)cos2\pi f_ct-s_i(t)sin2\pi f_ct) + j(s_i(t)cos2\pi f_ct+s_r(t)sin2\pi f_ct)\}$$
$$=s_r(t)cos2\pi f_ct-s_i(t)sin2\pi f_ct$$
由此可知，带通的时域信号是基带信号的实部被cos载波调制加上基带的虚部被sin载波调制的叠加，即如下图所示（具体符号表示有所不同）。
从上图中可知，将基带信号用相互正交（cos和sin）的载波（相位相差90度，幅度也可以不同）调制，就是我们常说的QAM。
基带等效信道模型
由于无线信道的多径效应，接收端接收到的信号是发射信号的多个延迟的版本的叠加。接收信号可以表示为$$y(t)=\sum_{i=0}^{L-1}a_is(t-\tau_i)$$
其中\(L\)是多径的总数，\(a_i\)和\(\tau_i\)分别是第\(l\)径的衰减和延迟。
代入带通信号的表达式，得到每个路径上的接收信号
$$0^{th}: \operatorname{Re}\{a_0s(t-\tau_0)e^{2\pi f_c(t-\tau_0)}\} \\
1^{st}: \operatorname{Re}\{a_1s(t-\tau_1)e^{2\pi f_c(t-\tau_1)}\}\\
...\\
L-1^{th}: \operatorname{Re}\{a_{L-1}s(t-\tau_{L-1})e^{2\pi f_c(t-\tau_{L-1})}\}
$$
因此，接收到的带通信号为
$$y_p(t)=\sum_{i=0}^{L-1}\operatorname{Re}\{a_is(t-\tau_i)e^{2\pi f_c(t-\tau_i)}\} \\
=\operatorname{Re}\{\sum_{i=0}^{L-1}a_is(t-\tau_i)e^{-j2\pi f_c\tau_i}e^{2\pi f_ct}\}
$$
根据前面带通信号与基带等效信号之间的关系可知，接收信号的基带等效信号为
$$y(t)=\sum_{i=0}^{L-1}a_is(t-\tau_i)e^{-j2\pi f_c\tau_i}$$
衰落信道模型
在窄带信号的假设条件下（信号的带宽远小于载波频率）有，\(s(t)\approx s(t-\tau_i)\)。因此，接收基带等效信号可以表示为$$y(t)=hs(t)$$
其中，\(h\)就是衰落信道系数，表示为
$$h=\sum_{i=0}^{L-1}a_ie^{2\pi f_c\tau_i} \\ =\sum_{i=0}^{L-1}(a_icos2\pi f_c\tau_i+ja_isin2\pi f_c\tau_i)$$
其中\(a_i\)和\(\tau_i\)都是随机变量，若定义随机变量
$$X=\sum_{i=0}^{L-1}a_icos2\pi f_c\tau_i \\ Y=\sum_{i=0}^{L-1}a_i sin2\pi f_c\tau_i$$
由于X和Y均是大量独立同分布的随机变量之和，根据中心极限定理可知，X和Y均服从高斯分布。进一步，我们假设X和Y相互独立，且服从0均值，方差为1/2的高斯分布，即\(X,Y\sim N(0,1/2)\)。则X和Y的联合分布函数为
$$f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y) \\ =\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-y^2} \\ =\frac{1}{\pi}e^{-(x^2+y^2)}$$
衰落信道系数可以进一步表示为
$$h=x+jy=ae^{j\phi}$$
则，\(h\)的幅度和相位也是随机变量，其联合分布为
$$f_{A,\Phi}(a,\phi)=\frac{1}{\pi}e^{-(x^2+y^2)}|J_{XY}|$$
其中，\(J_{XY}\)是雅克比矩阵，而\(|J_{XY}|\)是它的行列式。
$$J_{XY}=\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial a} & \frac{\partial y}{\partial a}\\ \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \phi}\end{bmatrix}$$
因为\(x=acos\phi\)，\(y=asin\phi\)，所以
$$ |J_{XY}|=\begin{vmatrix} cos\phi & sin\phi\\ -asin\phi & acos\phi \end{vmatrix}=a $$
代入前面的公式并结合\(a^2=x^2+y^2\)，得到
$$f_{A,\Phi}(a,\phi)=\frac{a}{\pi}e^{-a^2}$$
有了联合概率密度函数后，对\(A\)和\(\Phi\)求边缘密度，得到
$$f_A(a)=\int_{-\pi}^{\pi}f_{A,\Phi}(a,\phi)d\phi=2ae^{-a^2} \\ f_\Phi(\phi)=\int_{0}^{\infty}f_{A,\Phi}(a,\phi)da=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}2ae^{-a^2}da=\frac{1}{2\pi}(-e^{-a^2})|_0^{\infty}=\frac{1}{2\pi}$$
从上式可以看出，衰落信道系数\(h\)的幅度服从Rayleigh分布，而相位服从均匀分布——我们称之为瑞利衰落信道。
AWGN条件下BPSK的BER特性
AWGN条件下，接收信号可以表示为
$$y=x+n$$
其中，\(n\)是高斯白噪声，即\(n\sim N(0,\sigma^2)\)，其概率密度函数为
$$f_N(n)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{n^2}{2\sigma^2}}$$
对于BPSK来说，假设符号“0”用功率\(\sqrt{P}\)发送，而符号"1"用功率\(-\sqrt{P}\)发送。
当\(x\)发送“1”时，有
$$x=-\sqrt{P} \\ y=-\sqrt{P}+n$$
对BPSK来说，接收端判决的门限是0，因此，当接收电平高于0时，则会发生误码。若将这个概率记为\(P_{e1}\)，则有
$$P_{e1}=P(y>0) \\ =P(-\sqrt{P}+n>0) \\ =P(n>\sqrt{P})$$
代入AWGN的概率密度，得到
$$P_{e1}=\int_{\sqrt{P}}^{\infty}f_N(n)dn \\ =\int_{\sqrt{P}}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{n^2}{2\sigma^2}}dn$$
定义\(\frac{n}{\sigma}=t\)，得到
$$P_{e1}=\int_{\frac{\sqrt{P}}{\sigma}}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt \\ =Q\left ( \sqrt{\frac{P}{\sigma^2}} \right ) \\ =Q\left (\sqrt{SNR} \right )$$
同理，当发送符号0时，记误码的概率为\(P_{e0}\)，
$$P_{e0}=P(n\leqslant -\sqrt{P})$$
由于高斯白噪声的概率密度是以0为均值的对称函数，则
$$P_{e0}=P_{e1}$$
整个系统的误码率为
$$P_e=P_{e0}P(发送符号0)+P_{e1}P(发送符号1)$$
在发送端等概率发送符号0和符号1的假设条件下，有
$$P_e=\frac{1}{2}(P_{e0}+P_{e1}) \\ =Q\left( \sqrt{SNR} \right)$$
其中，\(SNR=\frac{P}{\sigma^2}\)是信噪比。
Rayleigh衰落条件下BPSK的BER性能
Rayleigh衰落信道条件下，接收信号可以表达为
$$y=hx+n$$
其中，\(h\)是衰落系数，\(n\sim N(0,\sigma^2)\)。此时，接收信号中有用信号的功率为
$$p_f=|h|^2P$$
由于\(h=ae^{j\phi\})，得到
$$p_f=a^2P$$
因此，接收端的衰落信噪比为
$$SNR_{fading}=\frac{a^2P}{\sigma^2}$$
代入AWGN下BPSK的BER公式，可以得到Rayleigh衰落条件下的BER性能为
$$P_e=Q\left( \sqrt{a^2SNR} \right)$$
信道的衰落特性导致信道的幅度\(a\)是随机变量，因此，衰落条件下的\(P_e(a)\)也是随机变量，所以讨论平均BER是有意义的。
代入Rayleigh衰落信道幅度的概率密度函数\(f_A(a)=2ae^{-a^2}\)，得到平均BER为
$$\bar{P}_e=\int_{0}^{\infty}Q\left( \sqrt{a^2SNR}\right)2ae^{-a^2}da$$
(积分过程略)
$$\bar{P}_e=\frac{1}{2}\left( 1- \sqrt{\frac{SNR}{2+SNR}}\right)$$
在高信噪比条件下，得到如下近似
$$\bar{P}_e=\frac{1}{2}\left( 1-\sqrt{\frac{1}{\frac{2}{SNR}+1}} \right) \\ =\frac{1}{2}(1-(1+\frac{2}{SNR})^{-1/2}) \\ \approx \frac{1}{2}(1-1+\frac{1}{2}\frac{2}{SNR}) \\ =\frac{1}{2SNR} \tag{*}$$
由此可知，Rayleigh衰落信道条件下，BPSK系统的平均BER特性依\(1/SNR\)衰减。相比AWGN条件下
$$P_e=Q\left( \sqrt{SNR} \right) \approx \frac{1}{2}e^{-\frac{SNR}{2}} \tag{**}$$
依指数衰减慢得多！
举例说明，在同一个系统中，要达到相同的误码率要求（比如\(10^{-6}\) ），在Rayleigh衰落信道下，相比AWGN条件下，前者需要更多的SNR（多需要43dB！）。
深衰落分析
一般来讲，当信道发生深衰落时，系统的误码率很高。我们首先将“深衰落”事件定义为接收信号的功率低于噪声功率的事件，则深衰落事件发生的概率为
$$\begin{aligned} P_{DF}&=\operatorname{Pr}(a^2P\leqslant \sigma^2) \\ &=\operatorname{Pr}(a\leqslant \frac{1}{\sqrt{\operatorname{SNR}}}) \end{aligned}$$
结合Rayleigh衰落幅度的概率密度函数，得到
$$\begin{aligned} P_{DF}&=\int_{1/\sqrt{\operatorname{SNR}}}^{\infty}2ae^{-a^2}da \\ &=-e^{-a^2}|_{1/\sqrt{\operatorname{SNR}}}^{\infty} \\ &=e^{-\frac{1}{\operatorname{SNR}}} \end{aligned}$$
在高信噪比条件下，根据\(e^{-x}\approx x\)，可以得到深衰落概率的近似表达式
$$P_{DF}\approx \frac{1}{\operatorname{SNR}}$$
将上述结论与Rayleigh衰落信道条件下的BER公式(*式)比较，可知BER和深衰落的概率均正比于信噪比的倒数，因此，高信噪比条件下，系统发生误码的概率正比于深衰落事件发生的概率。
分集的概念
从某种程度上讲，系统发生误码很大程度上是因为深衰落事件的发生，此时接收的功率很小，甚至低于噪声的功率，接收端无法分辨有用新号和噪声，因此发生判决的错误。
在单链路系统中，收发机之间只有一条无线链路，当这条链路发生“深衰落”时，系统发生误码的概率很高。为了解决“深衰落”的问题，需要提供额外的多个“备份”链路，当其中一部分链路发生深衰落时，其他的链路可能没有深衰落，系统的误码可能不会很高。也就是说，所谓的“分集”就是“额外的备份”。
分集的实现有很多种，比如在接收端使用多个天线接收——接收分集；在发送端用多个天线发送——发射分集；在多个符号时间上发送同一个符号——时间分集；在多个频率上发送相同的符号——频域分集；在多个用户上传输——多用户分集，等等。
最大比合并（器）
考虑上图中的一发两收的通信系统，其中发送符号记为\(x\)，发送天线到两个接收天线之间的信道记为\(h_1\)和\(h_2\)，接收信号记为\(y_1\)和\(y_2\)，则系统模型如下式所示
$$y_1=h_1x+n_1 \\ y_2=h_2x+n_2$$
其中，\(n_1\)和\(n_2\)分别是两个接收天线上的高斯白噪声，它们具有三个特性：
- 零均值，即\(E\{n_1\}=E\{n_2\}=0\)
- 同方差，即\(E\{|n_1|^2\}=E\{|n_2|^2\}=\sigma^2\)
- 不相关，即\(E\{n_1n_2\}=0\)
将系统模型写成向量形式，为
$$\begin{bmatrix}
y_1 \\
y_2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
h_1 \\
h_2
\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}
n_1 \\
n_2 \end{bmatrix}$$
也可以写成
$$\mathbf{y}=\mathbf{h}x+\mathbf{n}$$
可见，向量\(\mathbf{y}=[y_1,y_2]^T\)是分别在两个接收天线接收到的同一个发送符号的信号，我们需要通过某种方式合并这两个信号，用来获得一个输出信号。我们将这个输出信号记为\(\tilde{y}\)，即
$$\tilde{y}=w_1y_1+w_2y_2$$
其中，\(w_1\)和\(w_2\)是“合并权重因子”，写成向量形式有
$$\begin{aligned} \tilde{y}&=[w_1,w_2]\mathbf{y} \\ &=\mathbf{w}^T\mathbf{y}\end{aligned}$$
代入接收信号的公式，得到
$$\begin{aligned} \tilde{y}&=\mathbf{w}^T(\mathbf{h}x+\mathbf{n}) \\ &=\mathbf{w}^T\mathbf{h}x+\mathbf{w}^T\mathbf{n} \end{aligned}$$
其中，第一项是接收的有用信号，第二项是噪声项。因此，接收信噪比可以表示为
$$\operatorname{SNR}=\frac{|\mathbf{w}^T\mathbf{h}|^2P}{E\{|\mathbf{w}^T\mathbf{n}|^2\}}$$
我们先看噪声项的功率。由于
$$\begin{aligned} \mathbf{w}^T\mathbf{n}&=[w_1 w_2]\begin{bmatrix} n_1 \\ n_2\end{bmatrix} \\ &=w_1n_1+w_2n_2\end{aligned}$$
所以
$$\begin{aligned} E\{(w_1n_1+w_2n_2)^2\}&=E\{w_1^2n_1^2+w_2^2n_2^2+2w_1w_2n_1n_2\} \\ &=w_1^2E\{n_1^2\}+w_2^2E\{n_1^2\}+2w_1w_2E\{n_1n_2\} \\ &=(w_1^2+w_2^2)\sigma^2 \\ &=\sigma^2\left \|\mathbf{w}\right \|^2 \end{aligned}$$
因此，接收信噪比为
$$\operatorname{SNR}=\frac{P|\mathbf{w}^T\mathbf{h}|^2}{\sigma^2\left\| \mathbf{w} \right\|^2}$$
再来看有用信号的功率
$$\begin{aligned} \mathbf{w}^T\mathbf{h}&=[w_1 w_2]\begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \end{bmatrix} \\ &=w_1h_1+w_2h_2 \\ &=\mathbf{w}\cdot\mathbf{h} \end{aligned}$$
可知，上式为信道系数和合并权重因子之间的点积。根据点积的公式
$$|\mathbf{w}^T\mathbf{h}|=\left\|\mathbf{w}\right\| \left\|\mathbf{h}\right\| cos\theta$$
其中，\(\theta\)是向量\(\mathbf{w}\)和\(\mathbf{h}\)之间的夹角。
因此
$$|\mathbf{w}^T\mathbf{h}|^2=\left\|\mathbf{w}\right\|^2 \left\|\mathbf{h}\right\|^2 cos^2\theta$$
所以
$$\operatorname{SNR}=\frac{P\left\|\mathbf{h}\right\|^2cos^2\theta}{\sigma^2}$$
什么条件下可以使得接收端的信噪比最大？显然，当\(\theta=0\)时，也就是当合并权重向量\(\mathbf{w}\)与衰落信道向量\(\mathbf{h}\)同向时，即
$$\mathbf{w}\propto \mathbf{h}$$
接收端信噪比达到最大值，\(\frac{P\left\|\mathbf{h}\right\|^2}{\sigma^2}\)。进一步，假设合并权重向量为单位向量，即
$$\mathbf{w}=\frac{\mathbf{h}}{\left\|\mathbf{h}\right\|}=\frac{1}{\left\|\mathbf{h}\right\|}\begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{|h_1|^2+|h_2|^2}}\begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \end{bmatrix}$$
当合并权重向量按上式取值时，可以使得接收信噪比达到最大，因此，称这种合并方式为“最大比例合并”（MRC，此处的“比例”指的是信噪比），而向量\(\mathbf{w}\)成为“最大比例合并器”。
将上述推导推广到复数域中或L个接收天线的情况，结论是类似的，只不过需要将向量的“转置”操作替换为“共轭转置”，即
$$\tilde{y}=\mathbf{w}^H\mathbf{y}=\mathbf{w}^H\mathbf{h}x+\mathbf{w}^H\mathbf{n}$$