从一维到二维:最大子段和和最大子矩阵和

终于回到了过往,我们将重新走上$dp$这条路.

首先我们看这道题.

给出一串数列,求最大的子段和.
我们举个栗子.

7
1 2 3 -5 4 3 -6

这个样例的答案是8,前6个数相加是最大的.
显然本题是一个dp了.
定义dp[i]为以第i个数结尾的最大子段和,最后把dp[1 to n]全部处理一遍取其中的最大值即可.

/*
因为第i个数一定要取,所以前面必然会有一个问题:第i-1个数取不取?
那么显然如果前i-1个数的和<0,我们就不要它们,只取第i个数.
同理,如果在前面某一个位置p中有sum(a[1 to p-1])<0,前p-1个数就不要,接下来的答案就从第p个开始计数了.
那么我们可以推出状态的转移方程:dp[i]=max(a[i],a[i]+dp[i-1]);
这样只要直接线性跑一遍就可以了,复杂度O(n).
*/
int main(){
for (int i=1;i<=n;++i){
  dp[i]=max(a[i],a[i]+dp[i-1]);
  ans=max(ans,dp[i]);
  }printf("%d",ans);
}

接下来再看这道题.

给出一个矩阵.求最大子矩阵和.
举例:51Nod 1051

3 3
-1 3 -1
2 -1 3
-3 1 2

这个样例答案是7.
即使做完上面这题,看到下面也是没法一下子就秒掉的.
那现在只能把一维中的做法推广到二维了.

/*
首先对于每一列都求一下前缀和.请大家进行脑补求完之后的样子.
然后我们n^2枚举两行.接下来把这两行之间夹的每一列的和求出来,差分减一下就可以了.
最后神奇的事情发生了.算出来的每一列的和变成了一条一维的数列,可以用刚才的最大子段和的思想算出最大值.
对于所有情况算出最大的结果即可.代码如下,复杂度O(n^3).
*/
#include<bits/stdc++.h> //Ithea Myse Valgulious
namespace chtholly{
typedef long long ll;
#define re0 register int
#define rec register char
#define rel register ll
#define gc getchar
#define pc putchar
#define p32 pc(' ')
#define pl puts("")
/*By Citrus*/
inline int read(){
  int x=0,f=1;char c=gc();
  for (;!isdigit(c);c=gc()) f^=c=='-';
  for (;isdigit(c);c=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
  return f?x:-x;
  }
template <typename mitsuha>
inline bool read(mitsuha &x){
  x=0;int f=1;char c=gc();
  for (;!isdigit(c)&&~c;c=gc()) f^=c=='-';
  if (!~c) return 0;
  for (;isdigit(c);c=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
  return x=f?x:-x,1;
  }
template <typename mitsuha>
inline int write(mitsuha x){
  if (!x) return 0&pc(48);
  if (x<0) x=-x,pc('-');
  int bit[20],i,p=0;
  for (;x;x/=10) bit[++p]=x%10;
  for (i=p;i;--i) pc(bit[i]+48);
  return 0;
  }
inline char fuhao(){
  char c=gc();
  for (;isspace(c);c=gc());
  return c;
  }
}using namespace chtholly;
using namespace std;
const int _=500;
ll a[_|1][_|1],dp[_|15];

int main(){
int i,j,k,m=read(),n=read();
for (i=1;i<=n;++i){
  for (j=1;j<=m;++j){
    a[i][j]=a[i-1][j]+read();
    }
  }//求前缀和.
ll llx=0;
for (i=1;i<=n;++i){
  for (j=i;j<=n;++j){//枚举两行
    memset(dp,0,sizeof dp);//清空dp数组
    for (k=1;k<=m;++k){
      ll r=a[j][k]-a[i-1][k];//这两行之间所夹的列的和.
      dp[k]=max(r,r+dp[k-1]);//同样的操作
      llx=max(llx,dp[k]);//取个最大值
      }
    }
  }write(llx);
}

好的,谢谢大家.