QDU易途杯B-(2016NOIP)组合数问题

题目描述

组合数 C_n^mCnm​ 表示的是从 $n$ 个物品中选出 $m$ 个物品的方案数。举个例子，从 $(1,2,3)$ 三个物品中选择两个物品可以有 $(1,2),(1,3),(2,3)$ 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 C_n^mCnm​ 的一般公式：

C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}Cnm​=m!(n−m)!n!​

其中 $n!=1\times 2\times \cdots \times n$ ；特别地，定义 $0!=1$ 。

小葱想知道如果给定 $n,m$ 和 $k$ ，对于所有的 $0\le i\le n,0\le j\le \min \left(i,m\right)$ 有多少对 $(i,j)$ 满足 C_i^jCij​ 是 $k$ 的倍数。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个整数 $t,k$ ，其中 $t$ 代表该测试点总共有多少组测试数据， $k$ 的意义见问题描述。

接下来 $t$ 行每行两个整数 $n,m$ ，其中 $n,m$ 的意义见问题描述。

输出格式：

共 $t$ 行，每行一个整数代表所有的 $0\le i\le n,0\le j\le \min \left(i,m\right)$ 中有多少对 $(i,j)$ 满足 C_i^jCij​ 是 $k$ 的倍数。

输入输出样例

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1 2
3 3

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1

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2 5
4 5
6 7

输出样例#2：  复制

0
7

说明

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有 C_2^1 = 2C21​=2 是2的倍数。

【子任务】

思路：

组合数公式C[i][j] = C[i-1][j] + C[i-1][j-1];

直接预处理组合数以及ans的前缀和即可，或者二维数组滚动地去处理也可以。求组合数时要利用余数定理的两数相加和对mod取模等于两个数分别对mod取模的和(会爆long long)。

很直接的一个题...出题人不给数据范围也是醉了，尝试了离得最近的一个范围3000也gg，简单题搞成这样= =。

交题链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2822

代码:

// 滚动数组处理
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class yitu_b {
	
    private static int d;
    private static int maxn = (int)2e3+5;
    private static int a[][] = new int[2][maxn];
    private static int sum[][] = new int[2][maxn];
    private static node b[] = new node[(int)1e4+5];
    private static int ans[] = new int[(int)1e4+5];
    public static void main(String[] args) {
        // TODO code application logic here
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int t = cin.nextInt();
        int maxx = 0;
        d = cin.nextInt();
        for(int tt = 1; tt <= t; ++tt) {
        	b[tt] = new node();
            b[tt].n = cin.nextInt();
            b[tt].m = cin.nextInt();
            b[tt].id = tt;
            maxx = Math.max(maxx, b[tt].n);
        }
        Arrays.sort(b, 1, t+1);
        b[0] = new node(); b[0].n = 0;
        int key = 0;
        a[key][0] = 1 % d;
        sum[key][0] = (d == 1) ? 1 : 0;
        for(int tt = 1; tt <= t; ++tt) {
        	for(int i = b[tt-1].n+1; i <= b[tt].n; ++i) {
        		key ^= 1;
        		a[key][0] = 1 % d;
                sum[key][0] = ((d == 1) ? 1 : 0) + sum[key^1][0];
//    			System.out.print(sum[key][0] + " ");
        		for(int j = 1; j < i; ++j) {
        			a[key][j] = (a[key^1][j] + a[key^1][j-1]) % d;
        			sum[key][j] = sum[key^1][j] + sum[key][j-1] - sum[key^1][j-1];
        			if(a[key][j] == 0) {
        				++sum[key][j];
        			}
//        			System.out.print(sum[key][j] + " ");
        		}
        		a[key][i] = a[key^1][i-1] % d;
    			sum[key][i] = sum[key][i-1];
    			if(a[key][i] == 0) {
    				++sum[key][i];
    			}
//    			System.out.println(sum[key][i]);
        	}
        	ans[b[tt].id] = sum[key][Math.min(b[tt].n, b[tt].m)];
        }
        for(int i = 1; i <= t; ++i) {
        	System.out.println(ans[i]);
        }
    }
    private static class node implements Comparable<node>{
    	int id, n, m;
		@Override
		public int compareTo(node o) {
			if(this.n > o.n) {
				return 1;
			}
			else if(this.n < o.n) {
				return -1;
			}
			else {
				return 0;
			}
		}
    	
    }
}
*/




// N*N直接预处理
import java.util.Scanner;

public class yitu_b {

    private static int d;
    private static int maxn = (int)2e3+5;
    private static int a[][] = new int[maxn][maxn];
    private static int sum[][] = new int[maxn][maxn];
    private static void init() {
        a[0][0] = 1 % d;
        sum[0][0] = (d == 1) ? 1 : 0;
        for(int i = 1; i < maxn; ++i) {
            a[i][0] = 1 % d;
            sum[i][0] = ((d == 1) ? 1 : 0) + sum[i-1][0];
            for(int j = 1; j < i; ++j) {
                a[i][j] = (a[i-1][j] + a[i-1][j-1]) % d;
                sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1];
                if(a[i][j] == 0) {
                	++sum[i][j];
                }
            }
            a[i][i] = 1 % d;
            sum[i][i] = sum[i][i-1];
            if(a[i][i] == 0) {
            	++sum[i][i];
            }
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int t = cin.nextInt();
        d = cin.nextInt();
        init();
        for(int tt = 1; tt <= t; ++tt) {
            int n = cin.nextInt(), m = cin.nextInt();
            System.out.println(sum[n][Math.min(n, m)]);
        }
    }
    
}

继续加油~