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基环树，也是环套树，简单地讲就是树上在加一条边。它形如一个环，环上每个点都有一棵子树的形式。因此，对基环树的处理大部分就是对树处理和对环处理。显然，难度在于后者。
BZOJ1791 Island
题意：有一个基环树和树组成的森林，共有\(n\)个结点，边有边权。试求其中所有联通块的直径之和。
\(n \leq 10^6\)
我们只用考虑如何求出一个基环树的直径。
首先，我们要对环上所有点的子树求出它们的直径和最大深度。然后，我们只用考虑在环上至少经过一条边的路径。那么，这种路径在环上一定有起始点和终点。（假设路径是从起始点开始，按顺时针方向走达到终点）
不妨枚举这段路径在环上的终点。由于规定了这个点和方向，我们就可以拆环了。然后是一个经典的技巧，把环上元素复制一遍，就可以枚举全部拆环方案。设环上有\(l\)个结点。那么，我们枚举终点，就相当于在长度为\(2l\)的数组上不断滑动一个长度为\(l\)的区间。
剩下的问题与基环树已经没什么关系了。设环上边权的前缀和为\(sum\)，环上结点的子树的最大深度为\(dep\)。
那么，在环上起始点为\(i\)，终点为\(j\)的路径能得到的长度就是\(sum_j - sum_i + dep_j + dep_i\)。既然枚举了\(j\)，我们在滑动区间时就只用维护\(dep_i - sum_i\)的最大值就可以了。这个可以用单调队列实现。
时间复杂度\(O(n)\)。
CF835F. Roads in the Kingdom
题意：有一棵\(n\)个结点的基环树，边有边权。需要从环上删去一条边，以最小化直径。输出最小化后的直径。
\(n \leq 2 \times 10^5\)
本题和上道题类似，做法也相近。我们只用枚举删掉的是哪一条边，然后因为路径长度是\(sum_j+dep_j-sum_i+dep_i\)。
我们用两个set维护所有\(sum_i+dep_i\)和\(-sum_i + dep_i\)。这样就能求直径只要从两个set中分别取出最大值就好了。当然，还要特判两个最大值是同一个结点的情况。
时间复杂度\(O(n \log n)\)。
BZOJ2878 迷失游乐园
题意：有一棵\(n\)个结点的基环树，边有边权。当你从一个结点出发后，你每次会等概率地选择下一个未被访问过的结点，并走到那个结点，直到与当前点相邻的结点都被访问过为止。试求等概率选择出发点，所走的路径长度的期望值。
\(n \leq 10^5\)
先考虑如何对树做这个问题。我们设\(dp_i\)为从结点\(i\)开始，只向孩子结点走的路径的期望长度。按照题意可以得到\(dp_i = \frac {\sum_{j \in ch_i} dis(i,j) + dp_j} {|ch_I|}\)。在计算出所有\(dp\)值后，再从父亲向孩子结点更新，得到每个点的答案。这样，就是两遍树形dp，一次从下往上更新，一次从上往下更新。
然后考虑对环的处理。环上的两个结点互相到达，既可以按顺时针方向走，也可以按逆时针方向走。因此，我们枚举这个方向，就可以拆环了。
然后，我们可以用类似的方法，求出环上结点之间的贡献。这里特别提及一个细节，当在环上向右移动区间时，我们不但要删去区间旧左端点的贡献，还要考虑新左端点因为成为边界，不能再向左走，其贡献会增加。
更确切地说，设旧左端点为\(u\)，新左端点为\(v\)，那么，原来对于\(v\)的，有\(\frac {1} {|ch_v| + 1}\)的可能向\(u\)走，但现在，就只有向它的子树走的可能了，故\(v\)的贡献会改变。
这样，通过一次dfs，两次环上处理，再加一遍dfs，就能解决本题。
时间复杂度\(O(n)\)。
上面的问题中，我们可以直接拆环，把环上元素复制一遍来解决。然而，对于另一些问题，我们需要使用枚举环端点元素的状态的技巧，以实现破环成链。
BZOJ1040 骑士
题意：有一个基环树森林，含有\(n\)个结点。求其带权最大独立集。
\(n \leq 10^6\)
关于如何求树的带权最大独立集，这里便不必赘述了。
考虑处理环，我们枚举其中某个元素选还是不选，就能破环成链了。
时间复杂度\(O(n)\)。
ARC079F - Namori Grundy
题意：有一个弱联通的有向图，含有\(n\)个结点和\(n\)条边。试问是否存在方案，赋给每个结点一个自然数权值\(val_i\)，满足对于所有结点\(u\)，\(val_u = {\rm mex}\{val_v | (u,v) \in E\}\)。一个集合的\(\rm mex\)是没有在这个集合中出现的最小自然数。
\(n \leq 2 \times 10^5\)
唯一能导致无解情况出现的就只有环了。我们扣环之后，对环上所有结点的外向树做dfs，这样就只用考虑环了。
顺便一提，对于所有已知\(\{val_v | (u,v) \in E\}\)的结点\(u\)，\(val_u\)直接暴力求就可以了。设\(a_i\)表示\(val_u = i\)时，以\(u\)为根的外向树中最少需要的结点数（包括\(u\)）。那么，可以得到：
- \(a_0 = 1\)
- \(a_i = \sum_{k=0}^{i-1} a_i + 1\)
对这个数列求通项，得到\(a_i = 2^i\)。因此暴力求\(\rm mex\)是\(O(\log n)\)的。
设\(S_u\)表示\(\{val_v | (u,v) \in E\}\)，那么，对于环上所有结点\(u\)，\(val_u\)要么是\({\rm mex} S_u\)，要么是\(S_u\)中没有出现的次小的自然数。后一种情况会出现当且仅当\(u\)在环上前一个结点的权值恰好等于\({\rm mex}S_u\)。于是，我们枚举环上某一个结点是上面哪一种情况，在环上扫一遍判断一下就好了。
时间复杂度\(O(n \log n)\)。