P1006 传纸条（四维动归和斜线法）

P1006 传纸条

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 $(1, 1$ )，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 $(m, n)$ 。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 $0$ 表示），可以用一个 $0 - 100$ 的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这 $2$ 条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的 $2$ 条路径。

输入输出格式

输入格式：

输入文件，第一行有 $2$ 个用空格隔开的整数 $m$ 和 $n$ ，表示班里有 $m$ 行 $n$ 列。

接下来的 $m$ 行是一个 $\times n$ 的矩阵，矩阵中第 $i$ 行 $j$ 列的整数表示坐在第 $i$ 行 $j$ 列的学生的好心程度。每行的 $n$ 个整数之间用空格隔开。

输出格式：

输出文件共一行，包含一个整数，表示来回 $2$ 条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

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输入输出样例

输入样例#1：复制

输出样例#1：复制

说明

【限制】

30%的数据满足： $\le m,n \le 10$

100%的数据满足： $\le m,n \le 50$

NOIP 2008提高组第三题

方法一：在数据较小的时候，四维动归是完全可以的，但数据较大时，就不行

#include<stdio.h>
#include <iostream>
#define MAXN 55
using namespace std;
int a[MAXN][MAXN];
int dp[MAXN][MAXN][MAXN][MAXN];
//dp[i][j][k][l]表示从(0, 0)位置由两条不交叉的线路走到(i, j)(k, l)位置时的最大好感度和
//两条不相交的线路，虽然一从左上，一个从右下，但因为算的是最大值，于是可以都看成是从左上出发，到右下，规定一条为左，一条为右，这样避免了重复
//这样前进的方向只能向下，或向右
//状态转移方程：
//max_four(f[i][j-1][k-1][l],f[i-1][j][k][l-1],f[i][j-1][k][l-1],f[i-1][j][k-1][l])+a[i][j]+a[k][l]; 前一个状态有四个

int max_four(int a,int b,int c,int d)
{
    if(b>a)
    a=b;
    if(c>a)
    a=c;
    if(d>a)
    a=d;
    return a;
}
int main()
{
    int n,m;
    int i,j,k,l;
    cin>>n>>m;
    for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=m;j++)
    cin>>a[i][j];
    for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=m;j++)
    for(k=1;k<=n;k++)
    for(l=j+1;l<=m;l++)    //第二条在第一条的右边。
    dp[i][j][k][l]=max_four(dp[i][j-1][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1],dp[i][j-1][k][l-1],dp[i-1][j][k-1][l])+a[i][j]+a[k][l];
    cout << dp[n][m-1][n-1][m] << endl;//因为开始和结尾都是0，这个算法又是连起点，终点都不会重合的算法，所以不能dp[n][m][n][m]]4
    return 0;                          //非得算上开头和结尾的话，也是最后才算，在这最后一步加上 开头和结尾的值
}

方法2：

斜线法

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define MAXN 55
int a[MAXN][MAXN];
int dp[2*MAXN][MAXN][MAXN];//dp[k][i][j]表示的是第k条斜线上，以第i列，第j列的两个点为进出口时，得到路径的最大值。
//因为是同步前进，所以可以用斜线来表示，即斜线可以表示同步前进的两条路线。
//四种前一状态：dp[k-1][i][j];      //1下，2下
//              dp[k-1][i][j-1];    //1下，2右
//              dp[k-1][i-1][j];    //1右，2下
//              dp[k-1][i-1][j-1];  //1右，2右
int main()
{
  int i,j,k;
  int m,n;
  scanf("%d%d",&m,&n);
  for(i=1;i<=m;i++)
  for(j=1;j<=n;j++)
  scanf("%d",&a[i][j]);
  memset(dp,-1,sizeof(dp));     //赋初值为-1 (原因在后面）
  dp[2][1][1]=0;                //最初的点，在左上角，好感度为0
  for(k=3;k<=m+n-1;k++)         //k的范围（3~m+n-1) ,即共有m+n-3条斜线
  for(i=1;i<n;i++)
  for(j=i+1;j<=n;j++)
  {
        int s=dp[k][i][j];    //用斜线法会有越界的情况。
        s=max(max(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i-1][j]),max(dp[k-1][i][j-1],dp[k-1][i-1][j-1])); //这只是简单的递推关系，所以不需要和之前进行比较
        if(s==-1)continue;                            //当s为-1时，说明四种情况都不能到该点，故不存在。
        dp[k][i][j]=s+a[k-i][i]+a[k-j][j];           
  }                                             
  printf("%d\n",dp[m+n-1][n-1][n]);
  return 0;
 }