清华机试-整数拆分

题目描述

一个整数总可以拆分为2的幂的和,例如: 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 总共有六种不同的拆分方式。 再比如:4可以拆分成:4 = 4,4 = 1 + 1 + 1 + 1,4 = 2 + 2,4=1+1+2。 用f(n)表示n的不同拆分的种数,例如f(7)=6. 要求编写程序,读入n(不超过1000000),输出f(n)%1000000000。

输入描述:

每组输入包括一个整数:N(1<=N<=1000000)。

输出描述:

对于每组数据,输出f(n)%1000000000。
示例1

输入

7

输出

6

解题思路

搬运一下思路:
记f(n)为n的划分数,我们有递推公式:
 
f(2m + 1) = f(2m),
f(2m) = f(2m - 1) + f(m),
初始条件:f(1) = 1。
 
证明:
 
证明的要点是考虑划分中是否有1。
 
记:
A(n) = n的所有划分组成的集合,
B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合,
C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合,
则有: A(n) = B(n)∪C(n)。
 
又记:
f(n) = A(n)中元素的个数,
g(n) = B(n)中元素的个数,
h(n) = C(n)中元素的个数,
易知: f(n) = g(n) + h(n)。
 
以上记号的具体例子见文末。
 
我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m),
首先,2m + 1 的每个划分中至少有一个1,去掉这个1,就得到 2m 的一个划分,故 f(2m + 1)≤f(2m)。
其次,2m 的每个划分加上个1,就构成了 2m + 1 的一个划分,故 f(2m)≤f(2m + 1)。
综上,f(2m + 1) = f(2m)。
 
接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m),
把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个,就得到 A(2m - 1) 中的一个划分,故 g(2m)≤f(2m - 1)。
把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1,就得到 B(2m) 中的一个划分,故 f(2m - 1)≤g(2m)。
综上,g(2m) = f(2m - 1)。
 
把 C(2m) 中的划分的元素都除以2,就得到 A(m) 中的一个划分,故 h(2m)≤f(m)。
把 A(m) 中的划分的元素都乘2,就得到 C(2m) 中的一个划分,故 f(m)≤h(2m)。
综上,h(2m) = f(m)。
 
所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。                                            
 
这就证明了我们的递推公式。

代码

#include <iostream>

using namespace std;

int dp[1000001];

int main()
{
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    for(int i = 3;i <= 1000000;i++)
    {
        if(i % 2 == 0)
        {
            dp[i] = (dp[i / 2] + dp[i - 1]) % 1000000000;
        }
        else dp[i] = dp[i - 1] % 1000000000;
    }
    int n;
    cin >> n;
    cout << dp[n] << endl;
    return 0;
}

  

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转载自www.cnblogs.com/tracy520/p/8836654.html

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