HDOJ 1003 最大子序列和

这道关于DP的经典题终于花时间弄明白了。一定要记录一下啊。题目链接。

思路

对这个题目，其实最重要的是思路。参考了此博客上面的思路，在这里对DP求解的思路做一些整理。

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设数组$arr$的长度为$n$，下标从$0$到$n-1$，则最后一个元素表示为$arr[n-1]$。对连续和最大的子数组（后称”最大子数组“），最后一个元素$arr[n-1]$有如下三种情况：

$\begin{cases} \text {$arr[n-1]$单独构成最大子数组} \\\text{最大子数组以$arr[n-1]$结尾}\\最大子数组跟arr[n-1]没关系，最大子数组在arr[0-n-2]范围内，转为考虑元素arr[n-2] \end{cases}$

从上面我们可以看出，问题分解成了三个子问题，最大子数组就是这三个子问题的最大值，现假设：

以$arr[n-1]$为结尾的最大子数组和为$End[n-1]$
在$[0,n-1]$范围内的最大子数组和为$All[n-1]$

如果最大子数组跟最后一个元素无关，即最大和为$All[n-2]$（存在范围为$[0, n-2]$），则解$All[n-1]$为三种情况的最大值，即

$$All[n-1] = max\begin{cases} arr[n-1]\\End[n-1]\\All[n-2] \end{cases}$$

从后向前考虑，初始化的情况分别为$arr[0]$，以$arr[0]$结尾，即$End[0] = arr[0]$，最大和范围在[0,0]之内，即$All[0]=arr[0]$。根据上面分析，给出状态方程：

$$All[i] = max\begin{cases} arr[i]\\End[i-1]+arr[i]\\All[i-1] \end{cases}$$

伪代码表示为：

/* DP base version*/
#define max(a,b) ( a > b ? a : b)

int Maxsum_dp(int * arr, int size)
{
    int End[30] = {-INF};
    int All[30] = {-INF};
    End[0] = All[0] = arr[0];

    for(int i = 1; i < size; ++i)
    {
        End[i] = max(End[i-1]+arr[i],arr[i]);
        All[i] = max(End[i],All[i-1]);
    }
    return All[size-1];
}

仔细看上面DP方案的代码，End[i] = max{arr[i],End[i-1]+arr[i]}，如果$End[i-1]<0$，那么$End[i]=arr[i]$，什么意思？

$End[i]$表示以i元素为结尾的子数组和，如果某一位置使得它小于0了，那么就自当前的$arr[i]$从新开始，且$End[i]$最初是从$arr[0]$开始累加的。

所以这可以启示我们：我们只需从头遍历数组元素，并累加求和，如果和小于0了就自当前元素从新开始，否则就一直累加，取其中的最大值便求得解。

为什么当sum<0时可以舍弃序列并重新扫描呢？

证明如下：

设$i$表示子序列的起始下标，$j$ 表示子序列的终止下标。

• 当我们得到一个子序列，如果子序列的第一个数是非正数，那么可以舍去，即$i = i + 1$

• 当一个子序列的前$n$个元素和为非正数时，是否也可以舍去呢？答案是可以的。

设$k \in[i, j]$，$sum( a, b ) = \sum_{i=a}^barr[i]$。故得前提条件为：$sum( i, j ) < 0$。
$\because$ $sum( i, k ) > 0$ 且 $sum( i, k ) + sum( k, j ) = sum( i, j )$
$\therefore$ $sum( k, j ) < sum( i, j ) < 0$
所以如果把 $k$到$j$的序列附加到$j$之后的序列上，只会使序列越来越小。所以$i$到$j$的序列都可以舍去。

代码

import java.io.FileInputStream;
import java.io.FileNotFoundException;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws FileNotFoundException {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        //sc = new Scanner(new FileInputStream("src\\oj\\hdoj\\Q1003.txt"));
        int N = sc.nextInt();

        for (int l = 0; l < N; l++) {
            int n = sc.nextInt();
            int max = -999999, sum = 0, ci = 0, i = 0, j = 0;

            for (int k = 0; k < n; k++) {
                int tmp = sc.nextInt();
                if (sum < 0){
                    sum = tmp;
                    ci = k;
                } else {
                    sum += tmp;
                }
                if (sum > max){
                    j = k;
                    i = ci;
                    max = sum;
                }
            }

            System.out.println("Case " + (l+1) + ":" );
            System.out.println(max + " " + (i + 1) + " " + (j + 1));

            if (l < N - 1) {
                System.out.println();
            }
        }
    }
}