动态规划之二：剪绳子问题

问题:现有一根长度为N的绳子，需要你剪成M段，使M段的乘积最大。（其中M、N都为整数，剪成的每段长度也为整数，N已知，M未知）

例如 绳子长度N=8 剪成M=3，数值为别为2,3,3，则乘积最大为 2*3*3=18。

 当我们遇到一个大规模问题时，总是习惯把问题的规模变小，这样便于分析讨论。

我们从最简单的情况进行分析：

当绳子的长度N=1时，我们至少需要剪绳子一次，这时乘积为0；

当绳子的长度为N=2时，剪一次后绳子的两段长度为分别为1、1，这时乘积为1*1=1；

当绳子的长度为N=3时，我们对绳子有两种方式，其一为剪成三段，它们的长度分别为1、1、1，乘积为1*1*1=1；其二为剪成两段，它们的长度分别为1、2，乘积为1*2=2，则最终乘积取这两种方式中的最大值为max（1*1*1,1*2）。

当绳子的长度为N=4时，我们对绳子有三种方式，其一为剪成四段，它们的长度分别为1、1、1、1.乘积为1*1*1*1=1；其二为剪成两段，他们的长度为1、3.乘积为1*3=3，其三为剪成三段，它们的长度分别为1、2、1，乘积为1*2*1=2；其四为剪成两段，它们的长度分别为2、2，乘积为2*2=4；则最终乘积取上面结果中最大值max（1*1*1*1，1*3，1*2*1, 1*2）。

现在我们要用数学符号表示剪绳子的最大乘积的状态，使用f(N)表示绳子长度为N剪成若干段的最大乘积状态，由上面分析可知，

当N=1时，f(1)=0;

当N=2时，f(2)=1*1=1;

当N=3时，f(3)=max（1*1*1,1*2）=2

当N=4时，f(4)=max（1*1*1*1，1*3，1*2*1, 1*2）=4

我们知道使用动态规划求解问题，需要具备其中一个性质：最优子结构性质，也即我们需要知道状态转移函数。通过对上述状态的描述我们可以进一步简化中间环节：

当N=1时，f(1)=0;

当N=2时，f(2)=1;

当N=3时，f(3)=f(1)*f(2)=2

当N=4时，f(4)=max（f(1)*f(3)，f(2)*f(2)）=4

当N=5时，f(5)=max(f(1)*f(4),f(2)*f(3))=6

   .......

                f(N)=max(f(1)*f(N-1), f(2)*f(N-2) , f(3)*f(N-3) , ... , f(i)*f(N-i) )

由此，我们可以知道状态转移函数为：f(N)= max( f(i) * f(N-i)  ) , 其中i的取值范围为（i>0&&i<=n/2）。

程序如下所示：

#include<iostream>
using namespace std;
#define size 100  //表格的大小

int Line_Max(int a[],int n) {
	if (n < 2)
		return 0;
	if (n == 2)
		return 1;
	if (n == 3)
		return 2;
	for (int i = 4; i <= n; i++) 
		for(int j=1;j<=i/2;j++)     //比较的范围为：(1,n/2)
			if (a[j]*a[i-j]>a[i]) 
				a[i] = a[j] * a[i - j];
	return a[n];
}

int main() {
	int table[size]= { 0,1,2,3 };//对表格进行初始化,用来存储长度为i的最大乘积值
	int n;
	cin >> n;
	cout << Line_Max(table, n) << endl;
	
}