[DP]最大子矩阵

题目描述

我们将矩阵A中位于第i行第j列的元素记作A[i,j]。一个矩阵A是酷的仅当它满足下面的条件:
A[1,1]+A[r,s]<=A[1,s]+A1”>r,1
其中r为矩阵A的行数，s为矩阵A的列数。
进一步，如果一个矩阵是非常酷的仅当它的每一个至少包含两行两列子矩阵都是酷的。
你的任务是，求出一个矩阵A中的一个非常酷的子矩阵B，使得B包含最多元素。

Input
第一行包含两个整数R,S(2<=R,S<=1000)，代表矩阵的行数与列数。
接下来R行每行包括S个整数，代表矩阵中的元素,矩阵中元素的绝对值不大于1000000。

Output
一行一个整数，代表子矩阵B的元素总数。如果没有一个非常酷的子矩阵，输出0。

Sample Input
输入1：
3 3
1 4 10
5 2 6
11 1 3
输入2：
3 3
1 3 1
2 1 2
1 1 1
输入3：
5 6
1 1 4 0 3 3
4 4 9 7 11 13
-3 -1 4 2 8 11
1 5 9 5 9 10
4 8 10 5 8 8

Sample Output
输出1：
9
输出2：
4
输出3：
15
【样例3解释】
在第三个样例中，子矩阵B的左上角为A[3,2]，右下角为A[5,6]。

Data Constraint
对于60%的数据，满足R,S<=350。
对于100%的数据，满足2<=R,S<=1000,矩阵中元素的绝对值不大于1000000。

分析

这题在考场最后15min肝出结论（事实证明我只是肝出了证明的基础）
首先我们知道如果某n*m矩阵和某n*m(重叠部分，某两边相重叠)为酷矩阵那么它们结合在一起所形成的m*(n+1)（或n* (m+1)）的矩阵一定时酷矩阵
因此我们可以预处理出所有2*2的矩阵是否酷矩阵
这时我们看回酷矩阵的定义：（a为左上角，b为右下角，c为左下角，d为右上交）
$a+b\leq c+d$转为
$a-c\leq d-b$
那么我们可以通过这个搞2*2的酷矩阵判断，设di,j表示右下角为i,j的2*2矩阵是否为酷矩阵
用01表示，就会发现这题其实是一个最大矩阵和的变种
有多种做法，单调栈可以，但我选择悬线法（才不是不会用栈呢）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <memory.h>
#define rep(i,a,b) for (i=a;i<=b;i++)
const int N=1001;
using namespace std;
int n,m;
int a[N][N],d[N][N],l[N][N],up[N][N],r[N][N];
int ans,mleft,mright;
int main() {
    int i,j;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    rep(i,1,n) rep(j,1,m) scanf("%d",&a[i][j]);
    rep(i,2,n)
    rep(j,2,m)
    if (a[i-1][j-1]-a[i-1][j]<=a[i][j-1]-a[i][j]) d[i][j]=1;
    rep(i,2,n) {
        rep(j,2,m)
        l[i][j]=(d[i][j]?l[i][j-1]:0)+d[i][j];
        for (j=m;j>=2;j--)
        r[i][j]=(d[i][j]?r[i][j+1]:0)+d[i][j];
    }
    rep(j,2,m)
    rep(i,2,n)
    up[i][j]=(d[i][j]?up[i-1][j]:0)+d[i][j];
    rep(j,2,m)
    {
        mleft=mright=2147483647;
        rep(i,2,n)
        if (d[i][j]) {
            mleft=min(mleft,l[i][j]);
            mright=min(mright,r[i][j]);
            ans=max(ans,(up[i][j]+1)*(mleft+mright));
        }
        else mleft=mright=2147483647;
    }
    printf("%d",ans);
}