P2158,jzoj1709-仪仗队【欧拉函数,数论】

正题

评测记录：https://www.luogu.org/recordnew/lists?uid=52918&pid=P2158

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大意

有$n*n$个点，求从$(1,1)$可以看到多少个点。

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解题思路

我们将$(1,1)$当做$(0,0)$，然后所有点往下和后移一步
我们可以发现点距离点$(0,0)$只要有中点那么就不会被看到，而两个点之间有中点仅当$x1-x2$和$y1-y2$都是偶数，而那么我们可以发现$(x,y)$和$(0,0)$之间有中点仅当$x$和$y$互质(因为如果有因数那么一定会被$(x/gcd(x,y),y/gcd(x,y))$挡住)。那么我们就可以用欧拉函数来算互质。当然我们还要算上离$(0,0)$最近的三个，所以答案就是：

$$3+\sum^n_{i=2} \varphi (i)$$

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代码

#include<cstdio>
using namespace std;
int phi[40001],sum,n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    if (n==1)
    {
        printf("0");
        return 0;
    }
    n--;
    for (int i=2;i<=n;i++) phi[i]=i;//初始化欧拉
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
      if (phi[i]==i)//质数
        for (int j=i;j<=n;j+=i)
          phi[j]=phi[j]/i*(i-1);//筛去一个质因子
      sum+=phi[i];//统计答案
    }
    printf("%d",3+2*sum);
}