牛客多校第一场 F. Sum of Maximum（拉格朗日插值）

题目描述

Given a1, a2, ..., an, find

$\sum_{x_1 = 1}^{a_1} \sum_{x_2 = 1}^{a_2} \cdots \sum_{x_n = 1}^{a_n} \max\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$

modulo (109+7).

输入描述:

The input consists of several test cases and is terminated by end-of-file.
The first line of each test case contains an integer n.
The second line contains n integers a1, a2, ..., an.

输出描述:

For each test case, print an integer which denotes the result.

示例1

输入

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输出

复制

3
453

备注:

* 1 ≤ n ≤ 1000
* 1 ≤ ai ≤ 109
* The number of test cases does not exceed 10.

题目大意：就是按题目所给的式子求出最后的值，答案对1e9+7取模

题目思路：由于每个数a[i]的顺序对最后的结果没有影响，所以我们可以先把数组按照数从小到大排序。

接下来对于最大值 $x\in [a[i-1],a[i]]$ 对最终的答案的贡献，对于所有的 $a_{j}(j<i-1))$ ,

x都是可以提供贡献的，所以这部分的贡献为 $res=\prod_{j=1}^{i-1}a[j]$

再考虑a[i]~a[n]这一部分，因为此时要使x对结果产生贡献，所以i~n的取值只能在[1,x]之间取，同时最少有一个数取到x这个值

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根据容斥的原理，减掉选2个x的，加上选3个x的...所以这部分所产生的贡献为

$\sum_{j=1}^{n-i+1}C_{n-i+1}^{j}*(-1)^{j-1}*x^{n-i+1-j}$

表示从最后的n-i+1个数中选出j个数的值为x，剩下的n-i+1-j个数再在[1,x]内任意取值

通过多项式展开式，这个式子可以转化为 $f(x)=x^{n-i+1}-(x-1)^{n-i+1}$

那么通过x对最终答案的贡献就为 $x*res*f(x)$ ，那么对于任意 $x\in [a[i-1],a[i]]$ 对答案的总贡献为

$sum_{i}=res*\sum_{x=a[i-1]}^{a[i]}x*(x^{n-i+1}-(x-1)^{n-i+1})$

最后的结果就为 $ans=\sum_{i=1}^{n}sum_{i}$

其中 $x*x^{n-i+1}-(x-1)^{n-i+1}$ 可以借助杜教的拉格朗日插值板子求出来（杜教太强辣，orz

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define pb push_back
#define MP make_pair
#define FIN freopen("in.txt","r",stdin)
#define fuck(x) cout<<"["<<x<<"]"<<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>pii;
const int MX=1000+7;
const ll mod=1e9+7;

namespace polysum {
    #define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
    #define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)
    const int D=2010;
    ll a[D],f[D],g[D],p[D],p1[D],p2[D],b[D],h[D][2],C[D];
    ll powmod(ll a,ll b){ll res=1;a%=mod;assert(b>=0);for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;}return res;}
    ll calcn(int d,ll *a,ll n) { // a[0].. a[d]  a[n] 
        if (n<=d) return a[n];
        p1[0]=p2[0]=1;
        rep(i,0,d+1) {
            ll t=(n-i+mod)%mod;
            p1[i+1]=p1[i]*t%mod;
        }
        rep(i,0,d+1) {
            ll t=(n-d+i+mod)%mod;
            p2[i+1]=p2[i]*t%mod;
        }
        ll ans=0;
        rep(i,0,d+1) {
            ll t=g[i]*g[d-i]%mod*p1[i]%mod*p2[d-i]%mod*a[i]%mod;
            if ((d-i)&1) ans=(ans-t+mod)%mod;
            else ans=(ans+t)%mod;
        }
        return ans;
    }
    void init(int M) {
        f[0]=f[1]=g[0]=g[1]=1;
        rep(i,2,M+5) f[i]=f[i-1]*i%mod;
        g[M+4]=powmod(f[M+4],mod-2);
        per(i,1,M+4) g[i]=g[i+1]*(i+1)%mod;
    }
    ll polysum(ll m,ll *a,ll n) { // a[0].. a[m] \sum_{i=0}^{n-1} a[i]
        ll b[D];
        for(int i=0;i<=m;i++) b[i]=a[i];
        b[m+1]=calcn(m,b,m+1);
        rep(i,1,m+2) b[i]=(b[i-1]+b[i])%mod;
        return calcn(m+1,b,n-1);
    }
    ll qpolysum(ll R,ll n,ll *a,ll m) { // a[0].. a[m] \sum_{i=0}^{n-1} a[i]*R^i
        if (R==1) return polysum(n,a,m);
        a[m+1]=calcn(m,a,m+1);
        ll r=powmod(R,mod-2),p3=0,p4=0,c,ans;
        h[0][0]=0;h[0][1]=1;
        rep(i,1,m+2) {
            h[i][0]=(h[i-1][0]+a[i-1])*r%mod;
            h[i][1]=h[i-1][1]*r%mod;
        }
        rep(i,0,m+2) {
            ll t=g[i]*g[m+1-i]%mod;
            if (i&1) p3=((p3-h[i][0]*t)%mod+mod)%mod,p4=((p4-h[i][1]*t)%mod+mod)%mod;
            else p3=(p3+h[i][0]*t)%mod,p4=(p4+h[i][1]*t)%mod;
        }
        c=powmod(p4,mod-2)*(mod-p3)%mod;
        rep(i,0,m+2) h[i][0]=(h[i][0]+h[i][1]*c)%mod;
        rep(i,0,m+2) C[i]=h[i][0];
        ans=(calcn(m,C,n)*powmod(R,n)-c)%mod;
        if (ans<0) ans+=mod;
        return ans;
    }
}

int n;
ll a[MX],b[MX][MX],ans,tmp;

void init(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n-i+1;j++)
            b[i][j]=(j*(polysum::powmod(j,n-i+1)-polysum::powmod(j-1,n-i+1))%mod+mod)%mod;
    }
}

int main(){
    polysum::init(MX);
    
    while(~scanf("%d",&n)){
        init();
        ans=0;tmp=1;
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
        sort(a+1,a+n+1);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(a[i]==a[i-1]) continue;
            ans=(ans+tmp*(polysum::polysum(n-i+1,b[i],a[i]+1)-polysum::polysum(n-i+1,b[i],a[i-1]+1))%mod+mod)%mod;
            tmp=(tmp*a[i])%mod;
        }
        printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
    }
    return 0;
}