“景驰科技杯”2018年华南理工大学程序设计竞赛 H 对称与反对称(逆元)

链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/94/H
来源：牛客网

题目描述
给出一个N*N的方阵A。构造方阵B,C:
使得A = B + C.其中 B为对称矩阵，C为反对称矩阵。
对于方阵S中的任意元素,若(S)ij = (S)ji,则称S为对称矩阵
对于方阵T中的任意元素,若(T)ij = -(T)ji,则称T为反对称矩阵
注意，所有运算在模M意义下

输入描述:
输入包含多组数据，处理到文件结束
每组数据，第一行包含两个正整数N,M(1 <= N <= 1000, 1 <= M <= 1000,000,001)分别表示方阵大小与模数，其中M必定为奇数。
接下来的N行，每行有N个非负整数，表示方阵A(0<=Aij<=1000,000,000)。
输出描述:
对于每组数据，将反对称矩阵$C$在$N$行中输出；
若不存在解，则输出”Impossible”；
若存在多解，则输出任意解。
示例1
输入
2 19260817
0 1
1 0
输出
0 0
0 0

题目不是很难，但是很多东西题面都没有说清楚，结果输出要都是大于0的。

思路:先思考对于二维矩阵的对于对角线不用考虑
设A为:

$$\left[ \begin{matrix} 0 & C1 \\ C2& 0 \end{matrix} \right] \tag{2}$$
设B为:
$$\left[ \begin{matrix} 0 & x \\ x & 0 \end{matrix} \right] \tag{2}$$
设C 为:
$$\left[ \begin{matrix} 0 & y \\ -y & 0 \end{matrix} \right] \tag{2}$$
由与A = B+C对因为M取膜，所以有
$$(x+y) \% M = C1 \\ (x-y) \% M = C2$$
因为我们要求的是C，所以我们只要求y的值即可，通过向下化简可以求得
$$2*y + (k1-k2)*M = (C1-C2)\\ => y = (C1-C2)/2 - (k1-k2)/2*M$$

可以理解为y = (C1-C2)/2 % M。所以求出这个结果即可，我们知道再取膜的情况下，我们要是用逆元，而且这个题目里面M不一定为质数。所以利用拓展欧几里得求逆元即可。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX = 1010;
ll a[MAX][MAX],M,ans[MAX][MAX];
int N;
ll extgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    ll d = 1;
    if (b != 0) {
        d = extgcd(b, a%b, y, x);
        y -= (a / b)*x;
    }
    else {
        x = 1;
        y = 0;
    }
    return d;
}
ll mod_inverse(ll a, ll m) {
    ll x, y;
    extgcd(a, m, x, y);
    return (m + x % m) % m;
}
void solve() {
    ll inv = mod_inverse(2, M);//求出2的逆元
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        for (int j = 1; j <= N; ++j) {
            ll sum = a[i][j] - a[j][i];
            ans[i][j] = sum * inv%M;//这里要再取下膜
            ans[j][i] = -ans[i][j];
            while (ans[i][j] < 0)
                ans[i][j] += M;
            while (ans[j][i] < 0)
                ans[j][i] += M;

        }
    }
}
int main(void) {
    while (scanf("%d%lld", &N, &M) != EOF) {
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            for (int j = 1; j <= N; ++j) {
                scanf("%lld", &a[i][j]);
            }
        }
        solve();
        for (int i = 1; i <= N; ++i) {
            for (int j = 1; j <= N; ++j) {
                printf("%lld", ans[i][j]);
                if (j != N)
                    printf(" ");
            }
            printf("\n");
        }
    }

    return 0;
}