BZOJ2818-Gcd（欧拉函数）

题解：
考虑每个质数$p$对答案的贡献，
$gcd(ap,bp)=p$相当于$a，b$互质，$gcd(x,y)$为$p$的数对个数即为$1<=a,b<=\frac np$中互质对$a，b$的个数。
令$a<=b$，对于$b$，$a$有$φ(b)$个取值使$a，b$互质
所以符合条件的互质对$a，b$个数为

$$\sum_{i=1}^{\frac np}φ(i)$$
求一下前缀和就可以了。
关于欧拉函数是什么请自行百科。
那么 $φ(n)$怎么快速求?
考虑筛法：
若对于 $i$，已知所有的 $1~i$的 $φ$，枚举 $<=i$的质数 $p[j]$，可以求得 $φ(x*p[j])$
1、若 $p[j]$与 $x$互质， $φ(x*p[j])=φ(x)*φ(p[j])$
2、若不互质，设 $x=t*p[j]^k$
$φ(x*p[j])=φ(t*p[j]^{(k+1)})=φ(t)*φ(p[j]^{(k+1)})$
$=φ(t)*φ(p[j]^k)*p[j]$
$=φ(x)*p[j]$
似乎过不了 $10^7$的数据，那么怎么优化呢？
我们发现，很多数被重复计算了，比如
$18=2*9=3*6$
$60=2*30=3*20=4*15=5*12=6*10$
是否能让每个数只被算一次呢？
伪代码：

for i=2->n{
    if i是质数{
        φ(i)=i-1;
        tot=tot+1;
        p[tot]=i;
    }
    for j=1->tot{
        p[j]*i标记为合数
        计算φ(i*p[j])
        if i%p[j]==0 break;//让每个数只被其最小质因子计算到
    }
}

$Code:$

#include<bits/stdc++.h> 
#define ll long long
#define N 10000005
using namespace std;
int n,p,tot,phi[N],pri[N];
bool b[N];
ll ans,sum[N];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!b[i]){phi[i]=i-1;pri[++tot]=i;}
        for(int j=1;j<=tot;j++)
        {
            int x=pri[j];
            if(i*x>n)break;
            b[i*x]=1;
            if(i%x==0){phi[i*x]=phi[i]*x;break;}
            else phi[i*x]=phi[i]*phi[x];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        ans+=sum[n/pri[i]]*2-1;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}