日记★DP★F-邮局

F-邮局

题目

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题目描述

一些村庄建在一条笔直的高速公路边上，我们用一条坐标轴来描述这条公路，每个村庄的坐标都是整数，没有两个村庄的坐标相同。两个村庄的距离定义为坐标之差的绝对值。我们需要在某些村庄建立邮局。使每个村庄使用与它距离最近的邮局，建立邮局的原则是：所有村庄到各自使用的邮局的距离总和最小。
数据规模：1<=村庄数<=300, 1<=邮局数<=30, 1<=村庄坐标<=10000

输入

第1行：2个空格分开的整数v(1<=v<=300),p(1<=p<=30且p<=v)，分别表示村庄的数目和邮局的数目。

第2行：递增序列出了v个整数，分别表示了各村庄的位置坐标。对于每一个位置坐标x，有1<=x<=10000

输出

第1行：1个整数s，表示所有村庄到距离它最近的邮局的距离总和。

第2行：按递增序列出p个整数，分别表示所求出的每个邮局的建立位置。虽然对于同一个s，可能会有多种邮局建立的方案，但只需输出其中的一种。

样例输入

10 5
1 2 3 6 7 9 11 22 44 50

样例输出

9
2 7 22 44 50

状态定义

$f[i][j]$：前$i$个村庄中建$j$个邮局的最短距离和。

状态转移

首先考虑：在$i$到$j$之间建一个邮局的最短距离和是多少？
显然要将邮局建在中间的村庄上（通过绝对值的几何意义可以证明）。

令$i$到$j$中间一个邮局的最短距离和为$dis[i][j]$（此数组可以初始化出来），那么$f[i][j]$肯定只能由$f[k][j-1]$转移过来（我们无法得到$f[i][j]$与$f[k][j-x]$），即：在前$k$个村庄中放$j-1$个邮局，然后在$k+1$到$i$村庄建一个邮局。

所以：$f[i][j]=min(f[k][j-1]+dis[k+1][i])\quad |\quad 1\leq k<i$

边界

显然：$f[i][1]=dis[1][i]$。

输出解

和大多数DP一样：$pre[i][j]$表示$min(f[k][j-1]+dis[k+1][i])$选了哪个$k$，注意递归输出时不是输出$pos[pre[i][j]]$，$pre[i][j]$只是代表在$pre[i][j]+1$到$i$之间放了一个邮局，所以应输出$pos[(pre[i][j]+i+1)/2]$。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 300
#define INF 0x7f7f7f7f
int V,P;
int pos[MAXN+5],dis[MAXN+5][MAXN+5];
int f[MAXN+5][MAXN+5],pre[MAXN+5][MAXN+5];
bool fg=1;

void init()
{
    for(int i=1;i<=V;i++)
        for(int j=i+1;j<=V;j++)
        {
            int mid=(i+j)>>1;
            for(int k=i;k<mid;k++) dis[i][j]+=pos[mid]-pos[k];
            for(int k=mid+1;k<=j;k++) dis[i][j]+=pos[k]-pos[mid];
            //此处有O(1)的写法，请自行探索
            if(i==1) f[j][1]=dis[i][j];//顺便初始化f
        }
}

void print(int i,int j)
{
    if(i<1||j<1) return;
    print(pre[i][j],j-1);
    if(fg){printf("%d",pos[(pre[i][j]+i+1)/2]);fg=0;}//百年不遇的要处理行末空格的题
    else printf(" %d",pos[(pre[i][j]+i+1)/2]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&V,&P);
    for(int i=1;i<=V;i++)
        scanf("%d",&pos[i]);
    init();
    for(int i=1;i<=V;i++)
        for(int j=2;j<=P;j++)
        {
            f[i][j]=INF;
            for(int k=1;k<i;k++)
                if(f[i][j]>f[k][j-1]+dis[k+1][i])
                {
                    f[i][j]=f[k][j-1]+dis[k+1][i];
                    pre[i][j]=k;
                }
        }
    printf("%d\n",f[V][P]);
    print(V,P);
}