BZOJ P1911 [APIO2010] 特别行动队【动态规划】【斜率优化】

设$f[i]$表示只考虑前$i$个数的最大值，$Sum[]$表示前缀和，$F(x)=ax^2+bx+c$显然：

$$f[i]=max_{1\leq j\leq i-1}\ \ f[j]+F(Sum[i]-Sum[j])$$
$$f[i]=max_{1\leq j\leq i-1}\ \ aSum[i]^2+bSum[i]+c+f[j]+aSum[j]^2-bSum[j]-2aSum[i]Sum[j]$$

假设$j<k$，且$j->i$比$k->i$更优，那么易得：

$$aSum[j]^2-bSum[j]-2aSum[i]Sum[j]>aSum[k]^2-bSum[k]-2aSum[i][k]$$

令$u_j=f[j]+aSum[j]^2-bSum[j]$化简得：

$$2aSum[i]>\frac{u_k-u_j}{Sum[k]-Sum[j]}$$

所以我们得到：当$j<k$时，$j->i$比$k->i$更优等价于$j$号点和$k$号点之间的斜率小于$2aSum[i]$。

同理得到$j>k$时的等价条件，此时我们用单调队列维护即可。

参考代码：

#include<cstdio>
#define LL long long
const LL Max=1e6+5;
struct Node{
    LL X,Y;
}Q[Max];
LL N,A,B,C,Left,Right,X[Max];
LL Cross(Node A,Node B,Node C){
    return (B.X-A.X)*(C.Y-A.Y)-(B.Y-A.Y)*(C.X-A.X);
}
int main(){
    LL I,J,K;
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&N,&A,&B,&C);
    for(I=1;I<=N;I++){
        scanf("%lld",&X[I]);X[I]+=X[I-1];
    }
    for(I=1;I<=N;I++){
        while(Left<Right&&Q[Left].Y-2*A*X[I]*Q[Left].X<=Q[Left+1].Y-2*A*X[I]*Q[Left+1].X){
            Left++;
        }
        Node Cur;
        Cur.X=X[I];Cur.Y=Q[Left].Y-2*A*X[I]*Q[Left].X+2*A*X[I]*X[I]+C;
        while(Left<Right&&Cross(Q[Right-1],Cur,Q[Right])<=0){
            Right--;
        }
        Q[++Right]=Cur;
    }
    printf("%lld",Q[Right].Y+B*X[N]-A*X[N]*X[N]);
    return 0;
}