高斯分布与马氏距离

• 给定随机变量$x_i(i=1,...,N)$构成的矢量$X$，它的均值是$\bar X=E(X)$，而$\Delta X=X-\bar X$，其协方差矩阵

  $$\Sigma=E(\Delta X \Delta X^T)$$
  可知，矩阵$\Sigma$的对角元是单个变量$x_i$的方差，而非对角元是交叉协方差。

• 如果$X$的概率密度分布形如

  $$P(\bar X+\Delta X)=(2\pi)^{-N/2}det(\Sigma ^{-1})^{1/2}exp(-\Delta X^T \Sigma ^{-1}\Delta X/2)$$
  其中$\Sigma ^{-1}$是半正定矩阵，那么，变量$x_i$遵循一个联合高斯分布。均值和协方差是$\bar X和 \Sigma$。

• 特殊情况：$\Sigma=\sigma^2I$，为各向同性高斯分布
  

  $$P(X)=(\sqrt {2 \pi}\sigma)^{-N}exp(-\sum(x_i-\bar x_i)^2/2\sigma^2)$$

• 马氏距离
  

  $$||X-Y||=((X-Y)^T\Sigma^{-1}(X-Y))^{1/2}$$
  可以看出，高斯概率密度函数是变量马氏距离的函数。

• 理解马氏距离

  一个地区的人用两个数据表示(身高/cm，体重/g)。了解到这个地区的数据均值是(170，60000)。越接近这个体型的人数越多
  一个人a数据是(180，600100)，另一个人b的数据是(175，63000)。如果采用欧式距离的话，a更接近。因此推出有a身材的人更多。
  但实际上，我们看来应该是b更接近平均身材。所以，欧式距离有问题。
  解决方法引入数据方差，计算$(x-\bar x)/\sigma$的欧式距离

到目前，大家可以理解协协方差矩阵是对角阵的马氏距离：距离均值越近，概率越大。而距离与方差有关。那么马氏距离中的协方差怎么回事？
协方差矩阵$\Sigma$一般是对称正定矩阵，可以写成$\Sigma=U^TDU$，$D=(\sigma_1^2,...,\sigma_N^2)$是对角矩阵，U是正交矩阵。记$X'=UX$和$\bar {X'}=U\bar X$，则

$$exp(-(X-\bar X)^T \Sigma^{-1}(X-\bar X)/2)=exp(-(X'-\bar X')^TU \Sigma^{-1}U^T(X'-\bar X')/2)=exp(-(X'-\bar X')^T D^{-1}(X'-\bar X')/2)$$
这样就可以理解了： 马氏距离在另一个坐标系下是独立变量的距离。距离越远，概率越小。距离是 $\sum (\Delta x_i/\sigma_i)^2$。
记住， 左乘正交矩阵相当于坐标轴进行了刚体欧式运动。欧式运动后，如下图，

上面操作的效果如下：

这样，不同变量独立了。协方差矩阵是对角矩阵。也可以进一步缩放，变为各向同性的高斯分布。
总结一下：马氏距离在另一个坐标系下协方差矩阵是对角阵的马氏距离。

• 为什么非要协方差？我就要方差不行吗？
  考虑$x_1=x_2$，数据冗余的情况。如果只要方差那么$x_1$投了2次票。通过马氏距离，D有一个元素是0。相当于少了一票。卧槽，起到了PCA的作用。

• 卡方分布：$\chi_n^2$分布是n个独立高斯随机变量的平方和的分布。当应用于有非奇异协方差矩阵$\Sigma$的高斯随机变量$v$时，$(v-\bar v)^T\Sigma^{-1}(v-\bar v)$的值满足$\chi_n^2$分布。

• 如果协方差矩阵是$\Sigma$的高斯随机变量$v$，那么，$(v-\bar v)^T\Sigma^{+}(v-\bar v)$的值满足$\chi_r^2$分布，其中$r=rank(\Sigma)$。