【万能搜索】万能DFS之全排列（一）——普通算法

DFS相信大家都很熟悉，下面就给出一种用DFS实现的算法。

全排列

大家对于全排列是很熟悉的，比如123的全排列就有：

123
132
213
231
312
321

这六种。
现在，我们来设计一个算法，来求出所有全排列。

一个暴力算法

在全排列中，我们只需不停地试每一个元素所在的位置，再根据全排列中同一元素只出现一次，就可以暴力枚举出全排列。

//暴力实现
bool check(int x,int i)
{
    for(int k=1;k<=x;k++)
        if(ans[k]==a[x])return 0;
    return 1;
}
void dfs(int x)
{
    if(x>n)
    {
        Print();//输出
        return;//千万不要打掉这句
        //不打会将一个排列输出两次
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)//n是长度
        if(check(x,i))
        {
            ans[x]=a[i];
            dfs(x+1);
        }
}

不难看出，这个算法时间复杂度为$O(n^2\times n!)$。非常慢。

暴力算法v2.0

其实我们可以仔细想想，在ans数组中，每个元素只对应原数组的唯一一个位置，所以，我们就可以利用这一性质，用$O(1)$的时间来找出值。

//暴力实现v2.0
void dfs(int x)
{
    if(x>n)
    {
        Print();
        return;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!bo[i])
        {
            ans[x]=a[i];
            bo[i]=1;
            dfs(x+1);
            bo[i]=0;//不打这句你会死得很惨
        }
}

这个算法时间复杂度也比较慢，为$O(n\times n!)$。

一个看上去很NB的算法

先给代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[101],n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+n+1);
    do Print();
    while(next_permutation(a+1,a+n+1));
    return 0;
}

是很NB吧，还自带字典序输出。没错，这就是万能的algorithm库里面的next_permutation函数！它能在$O(n!)$的时间复杂度求出所有全排列！这是已知的、最快的求出全排列的方法。还可以处理重复元素！
关于这个算法的实现方法，我们下节再论。
搜索系列文章：
1. 【未完】【万能搜索】万能DFS之全排列（二）——next_permutation详解
2. 【未完】【万能搜索】万能BFS之最短路（一）——走迷宫
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