SG模板

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如

mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继},这里的g（x）即

sg[x]。

例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取{1，3,4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

sg[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1时，可以取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;

x=2时，可以取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；

x=3时，可以取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1;

x=4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;

x=5时，可以取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；

以此类推.....

   x         0  1  2  3  4  5  6  7  8....

sg[x]      0  1  0  1  2  3  2  0  1....

计算从1-n范围内的SG值。

f(存储可以走的步数，f[0]表示可以有多少种走法)

f[]需要从小到大排序

1.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);

2.可选步数为任意步，SG(x) = x;

3.可选步数为一系列不连续的数，用getSG()计算

模板1如下（SG打表）：

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1. //f[]：可以取走的石子个数  
2. //sg[]:0~n的SG函数值  
3. //hash[]:mex{}  
4. int f[N];//可以取走的石子个数  
5. int sg[N];//0~n的SG函数值  
6. int Hash[N];  
7.   
8. void getSG(int n){  
9.     memset(sg,0,sizeof(sg));  
10.     for(int i = 1; i <= n; i++){  
11.         memset(Hash,0,sizeof(Hash));  
12.         for(int j = 1; f[j] <= i; j++)  
13.             Hash[sg[i-f[j]]] = 1;  
14.         for(int j = 0; j <= n; j++){    //求mes{}中未出现的最小的非负整数  
15.             if(Hash[j] == 0){  
16.                 sg[i] = j;  
17.                 break;  
18.             }  
19.         }  
20.     }  
21. }  

模板2如下（dfs）：

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1. //注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍  
2. //n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组  
3. int s[N],sg[N],n;  
4. bool vis[N];  
5. int dfs_SG(int x){  
6.     if(sg[x] != -1)  
7.         return sg[x];  
8.     memset(vis,0,sizeof(vis));  
9.     for(int i = 0; i < n; ++i){  
10.         if(x >= s[i]){  
11.             dfs_SG(x-s[i]);  
12.             vis[sg[x-s[i]]] = 1;  
13.         }  
14.     }  
15.     for(int i = 0;; ++i){  
16.         if(!vis[i]){  
17.             e = i;  
18.             return sg[x] = i;  
19.         }  
20.     }  
21. }