1.1整除：
关于整除，可以理解为一个数是另一个数的倍数，核心都围绕在这个倍数上，如果已知a|b,那么一般都可以假设b=ak,然后进行推导.如果不能整除，往往会有一个余数r,假设b%a=r,那么b = ak+r,当遇到余数的时候，通过余数展开式进行推导也是一种比较常用的方法.
1.2同余：
一般是在题目给定了模数下才会用到，但是有一些特殊情况比如数太大存不下，只考虑它在同余下的意义也是可以的。同余的运算基本上和四则运算差不多，只不过没有定义除法！涉及到除法就必须要用到逆元！比较常用的性质就是同幂性：a ≡ b (mod p) ---> a^n ≡ b^n (mod p).还有同乘性.幂数取模问题：若幂次不大，则直接快速幂运算即可（.若幂次很大，则用欧拉定理降幂）未看
快速幂运算：
快速幂算法——可迅速求出a^b。其主要理论依据如下：
1，当b为偶数时，a^b可以转为a^2的b/2次方。
2，当b为奇数时，a^b可以转为a^2的b/2次方，再乘以a。
而a^2的b/2次方，以可以使用上述方式转为a^4的b/4次方再乘以某个数。代码如下:
private static int cifang(int a, int b) {
int s = 1;
while (b > 0) {
if (b % 2 == 1) {//b=b>>1保证了在最后一步肯定会执行该if判断
s = s * a;
}
a = a * a;
b = b >> 1;
}
return s;
}
1.3最大公约数
1.3.1辗转相除法（又称欧几里得法 原理：GCD（x,y)=GCD(x,y-x) ）
代码实现：
int GCD(int x,int y)
{
return x==0? x:GCD(y,x%y);
}
1.3.2二进制算法
算法效率
只有移位和加减操作，抛弃了欧几里得算法的取模，大数据中效率很高（听说）
算法思想
为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：
gcd(a,a)=a，也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。
gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。特殊地，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。
当k与b互为质数，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时，可以先将偶数除以2。
算法步骤
1、如果An=Bn,那么An(或Bn)*Cn是最大公约数,算法结束
2、如果An=0，Bn是最大公约数，算法结束
3、如果Bn=0，An是最大公约数，算法结束
4、设置A1=A、B1=B和C1=1
5、如果An和Bn都是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn*2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)
6、如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)
7、如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)
8、如果An和Bn都不是偶数，则An+1=|An-Bn|/2，Bn+1=min(An,Bn)，Cn+1=Cn
int gcd(int a, int b)
{
if (a<b) swap(a,b);// 交换a，b的值，保证a>=b
if (b==0) return a;
if ((a&0x1)==0 && (b&0x1)==0) // a，b均为偶数(避免使用除法和取模运算)
return 2*gcd(a>>1, b>>1);
if ((a&0x1)==0 && (b&0x1)!=0) // a为偶数，b为奇数
return gcd(a>>1, b);
if ((a&0x1)!=0 && (b&0x1)==0) // a为奇数，b为偶数
return gcd(a, b>>1);
if ((a&0x1)!=0 && (b&0x1)!=0) // a，b均为奇数
return gcd((a-b)>>1, b);
}
1.3.3最小公倍数
定理：a,b两个数的最大公约数乘以他们的最小公倍数等于a和b本身的乘积
#include <iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)return a;
else return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
int c=gcd(n,m);
cout<<(n*m/c);
return 0;
}
1.3.4扩展欧几里得算法
来源：http://blog.csdn.net/leader_one/article/details/75222771
1.3.5求解线性同余方程
线性同余方程
对于方程 a*x+b*y=n；有整数解得充分必要条件是（n %（a，b）==0），这个定理这里就不证明了，数论书上都有。
所以方程 a*x+b*y=n；我们可以先用扩展欧几里德算法求出一组x0，y0。也就是a*x0+b*y0=GCD（a，b）；然后两边同时除以GCD（a，b），再乘以n。这样就得到了方程a*x0*n/GCD（a，b）+b*y0*n/GCD（a，b）=n；我们也就找到了方程的一个解。
还有一个定理：若（a，b）=1，且x0，y0为a*x+b*y=n的一组解，则该方程的任一解可表示为：x=x0+b*t，y=y0-a*t；且对任一整数t，皆成立。（这个证明比较简单，就不写了）
这样我们就可以求出方程的所有解了，但实际问题中，我们往往被要求去求最小整数解，所以我们就可以将一个特解x，t=b/GCD（a，b），x=(x%t+t）%t（相当于绝对值）；就可以了。