背包问题一

01背包问题：有n个物体，每个物体的价格为Wi，容量为Ci，有一个容积为V的背包，求放入背包的物体的价格的最大值。

1、状态转移方程：f(i)=max{f(i-1,v),f(i-1,v-Ci)+Wi}

意思是：当取第i个物体的时候，有放和不放两种选择，如果不放，就是维持i-1的状态，价值还是f(i-1,v),如果放，背包的容积减少Ci，价值增加Wi，也就得到了状态转移方程。

for(1->n)
  for(v->ci)
    f(i,vi)=max{f(i-1,v),f(i-1,v)+wi}

从体积V开始减少，保证了不会超过V，从1开始，保证了每次不会选取选取过的物品。

下面是用二维数组的实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[105][105];
int value[105];
int weight[105];

int main(void)
{
	int n,m,i,j;
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(i=1;i<=n;i++) 
	scanf("%d%d",&weight[i],&value[i]);
	for(i=1;i<=n;i++) //从1到n列举背包 
	{
		for(j=0;j<=m;j++) //不超过背包限度m 
		{
			if(j>=weight[i]) //可以放的下 
			dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
			else dp[i][j]=dp[i-1][j]; //放不下 
		}
	}
	printf("%d\n",dp[n][m]);
	return 0;
}

其实还可以用一维数组滚动实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int weight[1005],cost[1005],dp[1005];
int main(void)
{
	int m,n,i,j;
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	scanf("%d%d",&weight[i],&cost[i]);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=m;j>=weight[i];j--)
		{
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+cost[i]);
		}
	}
	printf("%d\n",dp[m]);
	return 0;
}

注意：1到n的顺序可以变换，但m到weight[i]是确定了不超过背包的限度，不能变（是逆序，而完全背包是正序）

完全背包问题：有无限多个物体，背包的体积是v，有n种物品，每种物品的价值是Wi，体积是Ci，求在不超过背包容积的情况下背包中物品价格的最大值。

2、状态转移方程：f(i,V)=max{f(i-1,V-k*Ci)+k*Wi|0<=V<=k*Ci};

思路与01背包问题类似，但有些变化：1、物品的数量是无限的，也就是只要选择性价比最高的物品，求出每个物体的性价比，就是Vi/Ci，这种情况下，也可能某种物品被取光，也有可能某种物品不背取；2、还需要考虑一个物体的Ci如果大于V，不论性价比如何高，都不可取。

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for(V->ci)
  f(i,Vi)=max{f(i-1,Vi),f(i-1,Vi-Ci)+Wi};

从V开始减少，类似于01背包，每次减少Ci,选取最大的值。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Node{
	int weight,value;
};
Node p[120];
int dp[120];
int main(void)
{
	int n,i,m,j;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=n;i++)
	scanf("%d%d",&p[i].weight,&p[i].value);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=p[i].weight;j<=m;j++)  //每次不超过背包限度
		{
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-p[i].weight]+p[i].value);
		}
	}
	printf("%d\n",dp[m]);
	return 0;
}

多重背包

问题描述：有一个体积是V的背包，第i种物体有Mi件，每件的价值是Wi，占的体积是Ci，求在不超过背包体积的情况下，

最多的价值

状态转移方程：f(i,vi)=max{f(i-1,vi),f(i-1,vi-k*Ci)+k*Wi(0<=k<=Mi)};

(像极了01背包与完全背包的综合体。)

可以二进制优化

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int value[1200];
int weight[1200];
int dp[1200];
int main(void)
{
	int i,j,num=1,n,V;
	int vi,ci,wi;
	scanf("%d%d",&n,&V);
	for(i=1;i<=n;i++) 
	{
		scanf("%d%d%d",&vi,&ci,&wi);
		for(j=1;j<=ci;j*=2) //二进制优化 
		{
			value[num]=j*vi;
			weight[num++]=j*wi;
            ci-=j;
		}
		if(ci>0)
		{
			value[num]=ci*vi;
			weight[num++]=ci*wi;
		}
	}
	for(i=1;i<num;i++)  //依次查找 
	{
		for(j=V;j>=weight[i];j--)  //找到重量最大的 
		if(dp[j]<dp[j-weight[i]]+value[i])
		dp[j]=dp[j-weight[i]]+value[i];
	}
	printf("%d\n",dp[V]);
}

参考文章：https://blog.csdn.net/ZCMU_2024/article/details/81215747

参考文章：https://blog.csdn.net/tinyguyyy/article/details/51203935

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