hdu -2837(指数循环节+欧拉函数)

转自：https://blog.csdn.net/wust_cyl/article/details/77424953

Problem Description

Assume that f(0) = 1 and 0^0=1. f(n) = (n%10)^f(n/10) for all n bigger than zero. Please calculate f(n)%m. (2 ≤ n , m ≤ 10^9, x^y means the y th power of x).

Input

The first line contains a single positive integer T. which is the number of test cases. T lines follows.Each case consists of one line containing two positive integers n and m.

Output

One integer indicating the value of f(n)%m.

Sample Input

24 20

25 20

Sample Output

题目题意:题目就是让我们求f(n)%m,而函数f，是一个递归形式的函数,f(n)=(n%10)^(f(n/10)%m);

题目分析:分析到n,m比较大，而且又是指数形式，普通方法会炸。这里我们有一个重要的公式（数论的题目太多，太广了，得不停做，总结经验，积累公式）

A^x % m =A^ (x%phi[m]+phi[m]) %m (满足公式的条件x>=phi[m]) 其中phi[m]表示1到m之内，与m互质的对数（即欧拉函数的数值)

知道到了代码，在写代码的过程中，还是会有疑问的：

这是我写的时候遇到的疑问（比较Low，但是我的确当时不清楚）

1：很明显的一点是，公式既然有条件，那么我们在公式条件范围外（即x<phi[m],怎么办了），很明显只能去硬算，但是这个题目的表达式是f(n)=(n%10)^(f(n/10)%m),我们知道了f(n/10)是未知的，在不确定f(n/10)大小的情况下（就算我们可以递归求出来了，但是我们从当前层到下一层时，如果我们用了公式那么模数就是phi[m],没有就是m),是不同的，那么递归函数就很棘手。当时脑袋抽了，陷进出了，后来发现，我们的模数都可以变成phi[m],因为当x<phi[m]时，x%phi[m]不变，哈哈。所以我们递归的时候，把下一层的模数都变成phi[m]，只是在求fast_pow的时候应当去判断一下，x与模数的大小关系，如果大，那么就的用公式，x%phi[m]+phi[m].取模还得加模。

代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
 
ll get_euler(ll n)//求欧拉函数的数值
{
    ll res=n,a=n;
    for (int i=2;i*i<=a;i++) {
        if (a%i==0) {
            res=res/i*(i-1);
            while (a%i==0) a=a/i;
        }
    }
    if (a>1) res=res/a*(a-1);
    return res;
}
ll fast_pow(ll base,ll k,ll mod)
{
    ll ans=1;
    while (k) {
        if (k&1) {
            ans=ans*base;
            if (ans>mod)
                ans=ans%mod+mod;
 
        }
        base=base*base;
       if (base>mod)
          base=base%mod+mod;
        k>>=1;
    }
    return ans;
}
 
ll f(ll n,ll m)//f函数的表达式
{
    if (n<10) return n;
    ll phi=get_euler(m);//把下一层的模数都换成phi
    ll t=f(n/10,phi),ans;
    n=n%10;
    ans=fast_pow(n,t,m);//求当层的A^x
    return ans;
 
}
 
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while (t--) {
        ll n,m;
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        printf("%lld\n",f(n,m)%m);
    }
    return 0;
}

关于指数循环节的证明：

https://blog.csdn.net/guoshiyuan484/article/details/78776739

hdu -2837(指数循环节+欧拉函数)

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