一、前提
如果你已经仔仔细细读懂了01背包问题的题意，且对动态规划算法的思想有了一定的了解，那就继续吧。如果没有，先看看我转过的关于01背包问题的另一篇博客。
二、分析与理解
给定的物品数量为n，总容量为capacity。把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 个物品选或不选），Vi表示第 i 个物品的价值，Wi表示第 i 个物品的体积（重量），我们知道这个问题的目标是求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)，当然需要满足约束条件W1X1+W2X2+…+WnXn<=capacity。
由于我们是这样解决的，面对n件物品，每一次只对前1、2、3......直到前n件物品考虑，这个过程用变量 i 控制(1≤i≤n)；而每次考虑前 i 件物品时，要从背包容量为1、2、3......直到capacity时一步步考虑，这个过程用变量 j 控制(1≤j≤capacity)。所以定义一个二维数组 V(i,j) 表示当前背包容量为 j，前 i 个物品最佳组合所取得的最大价值。
接下来寻找递推关系式，我觉得这是解决问题最关键的部分：
求每一项 V(i,j)时，也就是面对前i件物品、背包容量只有j，有两种可能性：
第一，包的容量 j 比第 i 件物品重量w(i)小，装不下，只能不装，那么此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；
第二，还有足够的容量可以装第 i 件商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，也就是物品组合总价值更大的那个，即
V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝
其中V(i-1,j)表示装得下但不装；
而V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，既然装了，当前背包容量又是j，那么j中必定有w(i)个容量给了第i个背包，而剩余j-w(i)个容量用来装除了第i件物品的其他所有物品rest，这其他所有物品rest是一个只能在前i-1个物品中挑选的物品的集合。所以如果考虑要装这一步，只要再考虑V(i-1,j-w(i))这个子问题的最优解、再加上第i个物品的价值v(i)就可以了。我们知道V(i-1,j-w(i))这个子问题已经先计算好了，现在直接拿过来用，也就避免了重复计算，所以就达到了动态规划提高运算效率的目的。
由此可以得出递推关系式：
1) j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)
2) j>=w(i) V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝