一、介绍概念
1、
划分树是一种基于线段树的数据结构。
主要用于 快速求出(在log(n)的时间复杂度内）序列区间的区间内的第k大数。
第 k 大数：
在已经排序好的序列中，找 第 k 的数字就是 第 k 大数字
例如 ： 1 2 3 4 5
第 3 大数字是 3
4 3 6 5 1
第 2 大数字是 3
2、
划分树的定义就是对整体的区间进行划分，把相对于原来序列中较小的值放在左子树，较大的放在右子树，最后按照它的性质进行查询以此找到要查询的区间里的第k大数。
例图（图是偷的~~~）
二、具体步骤
1.建树
（1）步骤
建树是一个不停递归的过程
第一步：
首先我们要根据排序后的数组找到当前层数的中值（中值即中位数：注意，是中位数，不是中间的数）
中值 = sorted [ ( left + mid) / 2 ]
将没有排序的序列（即输入的原序列）里面的数这样安排：
小于中位数的放进左子树，大于等于中位数的放进右子树
当然了，这是针对中值只有唯一一个时候的做法，一会再说多个中值应该怎么处理。
第二步：
对于每一个子区间，我们都采用第一步的方法去划分，直到左右区间相等的时候，即为终止递归的条件。
第三步：
在我们向左子树里放数的时候，我们还要统计出区间 [left,right ] 里有多少个数进入了左子树（这个主要用于查询操作）。
在划分树的时候，有几点需要注意：
1.建树是分层的，所以我们要用二维数组去存储，第一维只需要20就够了，因为100000的数据量的话，它的层数为logN。
2.划分的标准是中值，在第一步里已经特别强调过。
3.划分的数永远存放在它的下一层，为什么呢？下面举个例子模拟一下过程就知道了。
那么下面先列出我们要用到的数组：
const int MAXL(1e5);
int tree[level][MAXL+50]; //第一维代表当前的树的层数，
//第二维代表这一层经过划分后的序列值
int toLeft[level][MAXL+50]; //第一维代表当前的树的层数，
//第二维代表当前层区间[left,right]进入左子树的数目
int sorted[MAXL+50]; //将初始序列排序后的数组
// level 的值 取 20 即可按照图中给出的原始序列为
4 2 5 7 1 8 3 6排序后的序列为
1 2 3 4 5 6 7 8那么我们tree [ 0 ]保存的应该是原始序列
并且得到toLeft [ 0 ] 的序列
tree[0] = 4 2 5 7 1 8 3 6
toLeft[0] = 1 2 2 2 3 3 4 4 // 当前区间进入到下一层左子树的数目
再次强调一遍
toLeft [ i ] [ j ] 存的是 第 i 层，当前划分区间【 left , right 】里进入左子树的个数
至于为什么要这么存，一会说查询的时候就知道了。
（2）模拟一下划分过程
首先是第一层，找到中值4 （中值= sorted[ ( left + mid) / 2 ] ）
那么tree [ 1 ] 和toLeft [ 1 ] 应该是
tree[1] = 4 2 1 3 5 7 8 6 // 第一层存的数
toLeft[1] = 0 1 2 2 1 1 1 2 // 由第 1 层进入到第 2 层的左子树的数目
// 一开始初始化 为 0可能这里有人注意到问题了，为什么把4划分到了左区间？上面不是说大于等于中值的划分到右区间吗？ 别急-
第二层，分别对左子树和右子树按照上述的方法划分
tree[2] = 2 1 4 3 5 6 7 8
toLeft[2] = 0 1 0 1 1 1 1 1 在这里再啰嗦地解释一下这一组的 toLeft 数组
很明显这一组的 2 1 4 3 5 6 7 8
分别在左 右 左 右 子树
那么对于左子树里的 2 1这个小区间，进入下一层左子树的数分别为 0 1 （ 1 进入左子树，2不进入）
对于右子树 4 3 这个小区间，进入下一层左子树的数分别为 0 1
…
…
第三层
tree[3] = 1 2 3 4 5 6 7 8
toLeft[3] = 0 0 0 0 0 0 0 0（3）、特殊处理
下面开始说另外一个要注意的问题：有多个中值怎么办？？？
因为我们要使得左右区间的数量尽可能的均等
所以在这里，我们用一种特殊的处理方法。
在还没有进行划分之前，我们先假设 中值左边的数据都小于中值
即 设置一个 suppose = mid - left + 1 （初值）
如果当前的数 小于中值,就使 suppose减一
即
if( tree[level][i]< sorted[mid] ）
suppose--;如果结果如我们假设的那样，那么suppose最后一定等于1，（因为留下了一个中值的位置）
否则，就说明中值的数量不唯一
那么在下面进行的时候，如果还剩 suppose>1，就先把中值放在左子树，直到 suppose为0，如果仍还有中值，就把剩下的放进右子树
通过这样操作，就能均分左右子树了。
再举个例子增深理解：
3 3 4 4 4 5 7
sorted[ 4 ] = 4
中值为4，左子树要放 4个（(1+7)/2），右子树放3个
处理后的suppose为 2
那么遇到第一个4，放进左子树，suppose=1;
遇到第二个4，放进左子树，suppose=0；
遇到第三个 4,这时suppose已经等于 0，所以放进右子树。
（4） 建树CODE：
void Build_tree(int level,int left,int right) //level为当前层
{
if(left==right) //左右区间相等为终止条件
return ;
int mid=(left+right)>>1;
int suppose=mid-left+1; //设定suppose的初值
for(int i=left; i<=right; i++)
if(tree[level][i]<sorted[mid]) //处理suppose
suppose--;
int subLeft=left,subRight=mid+1; //进入下层左右子树的下标
for(int i=left; i<=right; i++)
{
if(i==left) //初始化
toLeft[level][i]=0;
else //初始化
toLeft[level][i]=toLeft[level][i-1];
if(tree[level][i]<sorted[mid]||tree[level][i]==sorted[mid]&&suppose>0)
{
//这就是上面说的处理多个中值的情况，放在一起了，进入左子树
tree[level+1][subLeft++]=tree[level][i]; //将数放在下一层
toLeft[level][i]++; //进入左子树的数目+1
if(tree[level][i]==sorted[mid])
suppose--; //继续处理suppose
}
else //进入右子树
tree[level+1][subRight++]=tree[level][i];
}
Build_tree(level+1,left,mid); //递归建左子树
Build_tree(level+1,mid+1,right); //递归建右子树
}2、查询
（1）、确定左子树右子树
假设初始大区间为【left , right】，要查询的区间为【qLeft , qRight】
现在要查询区间【qLeft , qRight】的第k大数
思路：
先判断【qLeft , qRight】在【left , right】的哪个子树中，然后找出对应的小区间和 k ，然后递归查找，直到小区间qLeft==qRight 时为止。
那如何解决这个问题呢？
这时候前面记录的进入左子树的元素个数就派上用场了。通过之前的记录可以知道，
在区间【left , qLeft】中有 toLeft [ level ] [ qLeft - 1 ] 个元素进入了左子树，记它为 lef
同理，在区间【left , qRight】中有 toLeft [ level ] [ qRight ] 个元素进入了左子树，记它为rig ，
所以在区间【qLeft , qRight】之间就有 rig - lef 个元素进入了左子树，记为 toLef。
如果 toLef>= k ，说明 第 k 大元素肯定进入了左子树，那么就进入左子树查找，否则进入右子树查找。
（2）、确定小区间的问题：
如果进入的是左子树，那么小区间就应该是
【 left +( [ left , qLeft-1] )进入左子树的数目，left +（ [ left , qRight ] ）进入左子树的数目-1】
即：【 left + lef , left + lef + tolef-1 】,并且，这时候k的值不用变化
if(k<=toLef)//进入左子树
{
int newLeft=left+lef; // 左端点
int newRight=left+lef+toLef-1; // 右端点
//或 int newRight = newLeft + tolef -1 ;
return Query(level+1,newLeft,newRight,left,mid,k); // 递归查询
}
如果进入的是右子树，那么小区间就应该是
【 mid +( [ left,qLeft-1] )进入右子树的数目+1，mid +（ [ left,qRight ] ）进入右子树的数目】
即：【 mid + qLeft - left -lef + 1 , mid + qRight - left - toLef - lef + 1 】
同时，这里的k要发生变化，变为k-（【qLeft , qRight】进入左子树的元素个数）
即 k-toLef
例如：求第3 大，有两个元素进入到左子树中，那么就变成去求 右子树中 第 1大的数字
其中 mid = ( left + right ) / 2
这里的区间式子很长，需要仔细思考。
下面举个例子（又是偷的图~~~）
（3）、查询的 CODE
int Query(int level,int qLeft,int qRight,int left,int right,int k) // 查询
{
int mid=(left+right)>>1; // 求中值
if(qLeft==qRight) // 递归终止条件
return tree[level][qLeft];
int lef; // 代表的是 [left,qleft-1] 进入左子树的数目的数量
int toLef; // 代表的是 [left,qright] 进入左子树的数目的数量
if(qLeft==left） // 如果从大区间的左端点开始查
lef=0,toLef=toLeft[level][qRight];
else
lef=toLeft[level][qLeft-1],toLef=toLeft[level][qRight]-lef;
if(k<=toLef) // 进入左子树
{
int newLeft=left+lef;
int newRight=left+lef+toLef-1;
return Query(level+1,newLeft,newRight,left,mid,k);
}
else // 进入右子树
{
int newLeft=mid+qLeft-left-lef+1;
int newRight=mid+qRight-left-toLef-lef+1;
return Query(level+1,newLeft,newRight,mid+1,right,k-toLef);
}
}三、CODE
po 两个例题
CODE:（针对 poj 2104 的代码）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<map>
#include<stack>
#include<vector>
#include<queue>
#include<set>
#include<utility>
#include<list>
#include<algorithm>
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define swap(a,b) (a=a+b,b=a-b,a=a-b)
#define memset(a,v) memset(a,v,sizeof(a))
#define X (sqrt(5)+1)/2.0 //Wythoff
#define Pi acos(-1)
#define e 2.718281828459045
#define eps 1.0e-8
using namespace std;
typedef long long int LL;
typedef pair<int,int>pa;
const int MAXL(1e5);
const int INF(0x3f3f3f3f);
const int mod(1e9+7);
int dir[4][2]= {{-1,0},{1,0},{0,1},{0,-1}};
int tree[20][MAXL+50];
int toLeft[20][MAXL+50];
int sorted[MAXL+50];
void Build_tree(int level,int left,int right) // 建树
{
if(left==right)
return ;
int mid=(left+right)>>1;
int suppose=mid-left+1;
for(int i=left; i<=right; i++)
if(tree[level][i]<sorted[mid])
suppose--;
int subLeft=left,subRight=mid+1;
for(int i=left; i<=right; i++)
{
if(i==left)
toLeft[level][i]=0;
else
toLeft[level][i]=toLeft[level][i-1];
if(tree[level][i]<sorted[mid]||tree[level][i]==sorted[mid]&&suppose>0)
{
tree[level+1][subLeft++]=tree[level][i];
toLeft[level][i]++;
if(tree[level][i]==sorted[mid])
suppose--;
}
else
tree[level+1][subRight++]=tree[level][i];
}
Build_tree(level+1,left,mid);
Build_tree(level+1,mid+1,right);
}
int Query(int level,int qLeft,int qRight,int left,int right,int k) // 查询
{
int mid=(left+right)>>1;
if(qLeft==qRight)
return tree[level][qLeft];
int lef;
int toLef;
if(qLeft==left)
lef=0,toLef=toLeft[level][qRight];
else
lef=toLeft[level][qLeft-1],toLef=toLeft[level][qRight]-lef;
if(k<=toLef)
{
int newLeft=left+lef;
int newRight=left+lef+toLef-1;
return Query(level+1,newLeft,newRight,left,mid,k);
}
else
{
int newLeft=mid+qLeft-left-lef+1;
int newRight=mid+qRight-left-toLef-lef+1;
return Query(level+1,newLeft,newRight,mid+1,right,k-toLef);
}
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&tree[0][i]);
sorted[i]=tree[0][i];
}
sort(sorted+1,sorted+n+1);
Build_tree(0,1,n);
while(m--)
{
int ql,qr,k;
scanf("%d%d%d",&ql,&qr,&k);
int ans=Query(0,ql,qr,1,n,k);
cout<<ans<<endl;
}
}附：
做题的过程中发现了toLeft数组的另一种存法
下面的模板代码对于
toLeft【i】【j】 存的是第 i 层 1到 j 进入左子树的元素个数
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX_SIZE 100005
int sorted[MAX_SIZE]; //已经排好序的数据
int toleft[25][MAX_SIZE];
int tree[25][MAX_SIZE];
void build_tree(int left, int right, int deep)
{
int i;
if (left == right) return ;
int mid = (left + right) >> 1;
int same = mid - left + 1; //位于左子树的数据
for (i = left; i <= right; ++i) { //计算放于左子树中与中位数相等的数字个数
if (tree[deep][i] < sorted[mid]) {
--same;
}
}
int ls = left; // 下一层左子树的端点
int rs = mid + 1; // 下一层右子树的端点
for (i = left; i <= right; ++i) {
int flag = 0;
if ((tree[deep][i] < sorted[mid]) || (tree[deep][i] == sorted[mid] && same > 0)) {
flag = 1;
tree[deep + 1][ls++] = tree[deep][i];
if (tree[deep][i] == sorted[mid])
same--;
} else {
tree[deep + 1][rs++] = tree[deep][i];
}
toleft[deep][i] = toleft[deep][i - 1]+flag; // 相当于递推的过程，等于上一个过程 加 1 （进入 左子树）或者 加 0（进入右子树）
}
build_tree(left, mid, deep + 1);
build_tree(mid + 1, right, deep + 1);
}
int query(int left, int right, int k, int L, int R, int deep)
{
if (left == right)
return tree[deep][left];
int mid = (L + R) >> 1;
int x = toleft[deep][left - 1] - toleft[deep][L - 1];//位于[L,left]的放于左子树中的数字个数
int y = toleft[deep][right] - toleft[deep][L - 1];//到[L,right]位于左子树的个数
int ry = right - L - y; // 到right右边为止位于右子树的数字个数
int cnt = y - x; // [left,right]区间内放到左子树中的个数
int rx = left - L - x;// left左边放在右子树中的数字个数
if (cnt >= k) {
//printf("sss %d %d %d\n", xx++, x, y);
return query(L + x, L + y - 1, k, L, mid, deep + 1);
// 因为x不在区间内 所以没关系 所以先除去，从L+x开始，然后确定范围
}
else {
//printf("qqq %d %d %d\n", xx++, x, y);
return query(mid + rx + 1, mid + 1 + ry, k - cnt, mid + 1, R, deep + 1);
//同理 把不在区间内的 分到右子树的元素数目排除，确定范围
}
}
int main()
{
int m, n;
int a, b, k;
int i;
while (scanf("%d%d", &m, &n) == 2) {
for (i = 1; i <= m; ++i) {
scanf("%d", &sorted[i]);
tree[0][i] = sorted[i];
}
sort(sorted + 1, sorted + 1 + m);
build_tree(1, m, 0);
for (i = 0; i < n; ++i) {
scanf("%d%d%d", &a, &b, &k);
printf("%d\n", query(a, b, k, 1, m, 0));
}
}
return 0;
}