【Learning】min-max容斥以及推广

min-max容斥

给定集合 $S$ ，设 $max(S)$ 为 $S$ 中的最大值， $min(S)$ 为 $S$ 中的最小值，则我们有一个式子：

m a x (S) = \sum_{T \subseteq S} (- 1)^{| T | - 1} m i n (T)

$max(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}min(T)$
这个东西就叫做min-max容斥。
怎么证明？
我们考虑构造一个容斥系数

f (x)

$f(x)$ ，使得

m a x (S) = \sum_{T \subseteq S} f (| T |) m i n (T)

$max(S)=\sum_{T\subseteq S}f(|T|)min(T)$
考虑第

x + 1

$x+1$ 大的元素会被统计到的贡献。
则这个贡献为

\sum_{i = 0}^{x} C_{x}^{i} \times f (i + 1)

$\sum_{i=0}^{x}C_{x}^{i}\times f(i+1)$
简单来说，就是枚举有哪些集合的最小值会为第

x + 1

$x+1$ 大的元素。
则

[x == 0] = \sum_{i = 0}^{x} C_{x}^{i} \times f (i + 1)

$[x==0]=\sum_{i=0}^{x}C_{x}^{i}\times f(i+1)$
二项式反演一下

f (x + 1) = \sum_{i = 0}^{x} (- 1)^{x - i} C_{x}^{i} [i == 0]

$f(x+1)=\sum_{i=0}^{x}(-1)^{x-i}C_{x}^{i}[i==0]$
得到

f (x + 1) = (- 1)^{x}

$f(x+1)=(-1)^x$
因此

f (x) = (- 1)^{x - 1}

$f(x)=(-1)^{x-1}$
综上，

m a x (S) = \sum_{T \subseteq S} f (| T |) m i n (T) = \sum_{T \subseteq S} (- 1)^{| T | - 1} m i n (T)

$max(S)=\sum_{T\subseteq S}f(|T|)min(T)\\=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}min(T)$

证明完毕。
下面我们来看几道例题。
由于min-max容斥对于期望同样满足，所以可以很方便地解决一些概率和期望问题。

hdu4336 Card Collector

有n种卡片，每一秒都有 $P_i$ 的概率获得一张第 $i$ 种卡片，求每张卡片都至少有一张的期望时间。
我们记 $max(S)$ 为 $S$ 中最后获得的那种卡片第一次获得的期望时间， $min(S)$ 为 $S$ 中的第一个获得的那种卡片第一次获得的期望时间。
仍然满足

m a x (S) = \sum_{T \subseteq S} (- 1)^{| T | - 1} m i n (T)

$max(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}min(T)$
而

m i n (T) = \frac{1}{\sum_{i \in T} P_{i}}

$min(T)=\frac{1}{\sum_{i\in T} P_i}$
直接计算即可。
代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=25;
const double eps=1e-7;
double a[N],ans;
int n;
void dfs(int now,int tot,double sum){
    if(now>n){
        if(sum>eps){
            if(tot&1){
                ans+=1/sum;
            }else{
                ans-=1/sum;
            }
        }
        return;
    }
    dfs(now+1,tot,sum);
    dfs(now+1,tot+1,sum+a[now]);
}
int main(){
    while(~scanf("%d",&n)){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lf",&a[i]);
        }
        ans=0;
        dfs(1,0,0);
        printf("%lf\n",ans);
    }
    return 0;
}

bzoj4036 按位或

我们记 $max(S)$ 为 $S$ 中最后被或到的元素第一次被或到的期望时间， $min(S)$ 为 $S$ 中的第一个被或到的元素第一次被或到的期望时间。

m a x (S) = \sum_{T \subseteq S} (- 1)^{| T | - 1} m i n (T)

$max(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}min(T)$
而

m i n (S) = \frac{1}{\sum_{T \cap S \neq \emptyset} P_{T}}

$min(S)=\frac{1}{\sum_{T\cap S≠\emptyset}P_T}$
我们如果求出了

m i n (s)

$min(s)$ ，就直接计算就好了。
怎么求？

\sum_{T \cap S \neq \emptyset} P_{T} = s u m - \sum_{T \cap S = \emptyset} P_{T} = s u m - \sum_{T \cap (a l l - S) = (a l l - S)} P_{T}

$\sum_{T\cap S≠\emptyset}P_T\\=sum-\sum_{T\cap S=\emptyset}P_T\\=sum-\sum_{T\cap (all-S)=(all-S)}P_T$
然后

F W T

$FWT$ 计算即可。
代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1050005;
int n,all,tmp,cnt[N];
double sum,res,ans,a[N];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    all=1<<n;
    for(int i=0;i<all;i++){
        cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
        scanf("%lf",&a[i]);
        sum+=a[i];
        if(fabs(a[i])>1e-6){
            tmp|=i;
        }
    }
    if(tmp!=all-1){
        puts("INF");
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<all;i<<=1){
        for(register int j=0;j<all;j+=(i<<1)){
            for(register int k=j;k<j+i;k++){
                a[k+i]+=a[k];
            }
        }
    }
    for(register int i=0;i<all;i++){
        res=sum-a[all-1-i];
        if(res>1e-6){
            res=1/res;
        }else{
            res=0;
        }
        if(cnt[i]&1){
            ans+=res;
        }else{
            ans-=res;
        }
    }
    printf("%.8lf\n",ans);
    return 0;
}

推广 kth min-max容斥

我们考虑构造一个容斥系数 $f(x)$ ，使得

k t h m a x (S) = \sum_{T \subseteq S} f (| T |) m i n (T)

$kthmax(S)=\sum_{T\subseteq S}f(|T|)min(T)$
考虑第

x + 1

$x+1$ 大的元素会被统计到的贡献。
这个贡献为

\sum_{i = 0}^{x} C_{x}^{i} \times f (i + 1)

$\sum_{i=0}^{x}C_{x}^{i}\times f(i+1)$
则

[x == k - 1] = \sum_{i = 0}^{x} C_{x}^{i} \times f (i + 1)

$[x==k-1]=\sum_{i=0}^{x}C_{x}^{i}\times f(i+1)$
二项式反演一下

f (x + 1) = \sum_{i = 0}^{x} (- 1)^{x - i} C_{x}^{i} [i == k - 1]

$f(x+1)=\sum_{i=0}^{x}(-1)^{x-i}C_{x}^{i}[i==k-1]$
得到

f (x + 1) = (- 1)^{(x - (k - 1))} C_{x}^{k - 1}

$f(x+1)=(-1)^{(x-(k-1))}C_{x}^{k-1}$
因此

f (x) = (- 1)^{x - k} C_{x - 1}^{k - 1}

$f(x)=(-1)^{x-k}C_{x-1}^{k-1}$
综上，

k t h m a x (S) = \sum_{T \subseteq S} f (| T |) m i n (T) = \sum_{T \subseteq S} (- 1)^{| T | - k} C_{| T | - 1}^{k - 1} m i n (T)

$kthmax(S)=\sum_{T\subseteq S}f(|T|)min(T)\\=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}C_{|T|-1}^{k-1}min(T)$
有一道例题，还没弄懂，不会做：重返现世
这道题是ypl学长的神题QwQ