置换群与轨道计数

群论基础

by blutrex

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群

对于集合G 和二元运算∗，若：

• 封闭性：∀f, g ∈ G，有f ∗ g ∈ G；
• 结合律：∀f, g, h ∈ G，有(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)；
• 单位元：∃e ∈ G，∀g ∈ G，有g ∗ e = e ∗ g = g；
• 逆元：∀g ∈ G，∃f ∈ G，使f ∗ g = g ∗ f = e，记作$f = g^{-1}$。

则称G 对∗ 构成一个群，记作群(G, ∗)。
根据结合律和逆元，可以证明群满足消去律：若f, g, h ∈ G，且
f ∗ h = g ∗ h 或h ∗ f = h ∗ g，则f = g。

注意：群不一定满足交换律；单位元唯一；任意元素的逆元唯
一。

群的作用

对于群(G, ∗)、集合X 和左二元关系φ : G × X → X（将
φ(g, x) 简记为g · x），若：

• 单位元：e ∈ G 为单位元，∀x ∈ X，有e · x = x；
• 兼容性：∀f, g ∈ G，∀x ∈ X，有(f ∗ g) · x = f · (g · x)。

则称G 可左作用于集合X。
根据单位元、群逆元和兼容性，可以证明群作用是一个双射，即
若g · x = y，则g 唯一。
类似可定义右作用x · g。

轨道和不动点

定义$x\in X$在G 的轨道为G 的元素作用于x 得到的所有结果的
集合，即

$$G\cdot x=\{g\cdot x|g\in G\}$$
定义 $x,y\in X$等价当且仅当
$$G\cdot x=G\cdot y$$
所有轨道的集合为
$$X/G=\{G\cdot x|x\in X\}$$
X上 $g\in G$的不动点的集合为作用后不变的点的集合，即
$$X_{g}=\{x\in X|g\cdot x=x\}$$

置换

一个置换$g$,其中$g[i]$是$1$到$n$的排列，

$$g=(g[1],g[2],g[3]\cdots g[n])$$
置换的复合 $f\circ g$为
$$(f\circ g)[i]=f[g[i]]$$
置换的幂 $g^{k}$为 $k$个 $g$的复合。
显然置换对 $\circ$满足结合律。
对于置换 $g$，如果建一个图，从 $i$向 $g[i]$连一条有向边，则得到的一定是若干个环（可能有自环）。每一个环，叫做置换群的一个循环节，记循环节数为 $\varsigma(g)$。

置换群

$G$是置换的集合，且对$\circ$满足群的定义（置换满足结合律，因此只需再满足封闭性、单位元、逆元即可），则称$(G,0)$是置换群。
例如：对于一个长为$n$的环，将其旋转$0$到$n-1$格的所有操作的集合就是置换群。

群的作用

对于所有合法长度为$n$的序列$\langle x[i]\rangle$的集合$X$，和长为$n$的置换群$(G,\circ)$，对$g\in G$，定义

$$(x\cdot g)[i]=x[g[i]]$$

轨道计数

给定一个群$G$，方案$x,y$本质相同当且仅当$\exists g\in G,x\cdot g=y$，要求本质不同的方案数。
这就是求$X$在$G$的轨道数，即求$|X/G|$。
这常用Burnside引理或Pólya定理解决。

Burnside引理

Burnside引理

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X_{g}|$$

即轨道数等于所有置换点的不动点的平均数。

Pólya定理

对于长为$n$的置换群$(G,\circ)$和可作用于$G$的长为$n$的序列集合$W^{n}$（即序列中每个元素都属于$W$，且彼此无限制），有：

Pólya定理

$$|W^{n}/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|W|^{\varsigma(g)}$$

经典题

• 路径计数
• 环染色
• 密铺

高级群论应用

• Pólya 定理的生成函数形式
• Pólya 定理的带权生成函数形式
• 三个点本质不同的无向图计数
• 本质不同的有根三叉树计数
• 无标号环的计数

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总结（讲垃圾话）

blutrex 作为 CDQZ 优秀学长，给我们队上课好像也不是什么奇怪的事情，但第一次跟清华爷交跤♂流，深深知晓了实力的巨大差距。别人NOI银牌，THU降一本，高考还670+，或许这就是CDQZ的力量：

选择QZ，就是选择了一条艰苦奋斗的成功之路！
QZ塑造你的精神长相，你代言QZ人的理想

与各位共勉。