问题：在n种物品中选取若干件放在空间为v的背包里，每种物品的体积为c1，c2，…，cn，与之相对应的价值为w1,w2，…，wn.求解怎么装物品可使背包里物品总价值最大
- 01背包——每种物品只能选0件或者1件
- 完全背包——每种物品可以选0至多件，没有限制
先放递推关系式子：（dp[ i ] [ j ]表示拿前 i 件物品去塞容积为 j 的背包可以得到的最大价值，所以最后dp[ n ][ v ]就是所求问题的答案）
- 0—1背包：dp[ i+1 ][ j ] = max ( dp[ i ][ j ], dp[ i ][ j - ci ] + wi )；
- 完全背包：dp[ i+1 ][ j ] = max ( dp[ i ][ j ], dp[ i +1 ][ j - ci ] + wi )；
其实0-1背包还是这个式子还是很直观的：（dp最amazing的地方就是找状态转移）。先看一下状态是如何转移的——在从前 i 个往 前 i+1 个选的过程（确定了第 i 个物品的选法，就从 dp[ i ][ ]过渡到了dp[ i+1][ ]），对于第 i 个物品，要么选要么不选，不选的话dp[ i+1 ][ j ]就是dp[ i ][ j ]，选的话dp[ i+1 ][ j ]就是 dp[ i ][ j - ci ] + wi (为啥是 j-ci ? 因为状态是从j-ci 加上放入的第 i 个物品 ci 才到 j的嘛 )。最后选的当然是两者的max。
上面给的完全背包的式子就比较抽象了。在理解完全背包的dp[ i+1 ][ j ] = max ( dp[ i ][ j ], dp[ i +1 ][ j - ci ] + wi )之前，我们先来铺垫完全背包的另一种写法的式子：
dp[ i+1][ j ] = max{ dp[ i ][ j - k*ci]+k* wi}
因为完全背包中，第 i 个物品可以选多次，上式中的 k 就代表了这个次数。 由于上式左边背包最大容积为 j ，所以 k 最大最大不能超过 j / ci; 故 k 的范围是 0<= k <= j/ci;
这个式子是很直观的，甚至0-1背包也可以用这个式子表示，只要把 k 的取值范围改成只有0和1，k={0,1}。也就是说，其实0-1背包就是一种特殊的完全背包。 虽然得出这个结论不难，但是如果单单只看开始给出的那两个递推关系式，我们是无法直观地看出结论的。
既然这个式子这么直观，干嘛不直接用它呢？原因就是它效率不高，因为做了很多重复工作——细想一下我们就会发现，其实在计算dp[ i+1 ][ j ]时计算的dp[ i ][ j - k*ci]+k* wi (k>=0) 的k>=1部分 和 计算 dp[ i+1][ j-wi]时就算的dp[ i ][ j - k*ci]+k* wi (k>=0)做的工作时一模一样的。
（即在计算dp[i+1][ j ]中选择m（m>=1）个 第i个物品 和计算 dp[ i+1][ j-ci]时选择 m-1个第i个物品是一样样的）
现在来证明为什么max ( dp[ i ][ j ] , dp[ i +1 ][ j - ci ] + wi )和max{ dp[ i ][ j - k*ci]+k* wi}是等价的。
dp[ i+1][ j ]=max( dp[ i ][ j ] , dp[ i+1 ][ j - ci ]+wi )
=max (dp[ i ][ j ] , max { dp[ i ][ j- ci - k * ci ]+k *wi } +wi ), k>=0
=max ( dp[ i ][ j ] , max{ dp[ i ][ j- k * ci ]+k *wi }), k>=1
=max{ dp[ i ][ j- k * ci ]+k *wi },k>=0