[数论][DP]JZOJ 5813 计数

Description

 

Input

一行由空格隔开的两个整数，分别是 n 和 m。

Output

一行表示答案。 

 

Sample Input

Input1:
6 1
Input2:
6 3

Sample Output

Output1:
10
Output2:
2248

 

Data Constraint

 

Hint

第一个样例中，合法的方案有 (1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 6),(2, 1),(2, 2),(2, 3),(3, 1),(3, 2),(6, 1) 共 10 种。 

分析

以下讨论的xi全部满足第一个限制条件

对于一组{x1,x2,..,x2m}<n^m，显然：{n/x1,n/x2,..n/x2m}>n^m

那么则两式相乘则为n^2m，然后xi与n/xi显然一一对应，所以设上式为A和C，有A=C（方案数）

那么显然A+B（=n^m的方案数）+C=σ(n)^2m

所以A=(σ(n)^2m+B)/2

那么就只需要求出=n^2m的情况就行了，先分解质因数，设f[i][j]表示选了i位，和为j的方案数，DP即可

#include <istream>
#include <cstdio>
#include <memory.h>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll P=998244353;
ll n,m,k,B;
ll cnt,f[201][20001];

ll Power(ll x,ll y) {
    ll ans=1;
    while (y) {
        if (y&1) (ans*=x)%=P;
        (x*=x)%=P;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}

void Solve(int l) {
    memset(f,0,sizeof f);f[0][0]=1;
    int ncnt=0;
    while (!(k%l)) k/=l,ncnt++;
    for (int i=1;i<=2*m;i++)
    for (int j=0;j<=ncnt*m;j++)
    for (int k=0;k<=min(j,ncnt);k++)
    (f[i][j]+=f[i-1][j-k])%=P;
    (B*=f[2*m][ncnt*m])%=P;
}

int main() {
    freopen("count.in","r",stdin);
    freopen("count.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    k=n;B=1;
    for (int i=1;i<=sqrt(n);i++)
    if (!(n%i)) {
        cnt++;
        if (i*i<n) cnt++;
        if (i-1&&!(k%i)) Solve(i);
    }
    if (k>1) Solve(k);
    printf("%lld",(Power(cnt,2*m)+B)%P*Power(2,P-2)%P);
    fclose(stdin);fclose(stdout);
}

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