0-1 背包问题：给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi 。
问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？
分析一波，面对每个物品，我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。
解决办法：声明一个 大小为 m[n][c] 的二维数组，m[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品，且背包容量为 j 时所能获得的最大价值 ，那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法，
（1）. j < w[i] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿
m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]
（2）. j>=w[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。
如果拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。 这里的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-w[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。
如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）
究竟是拿还是不拿，自然是比较这两种情况那种价值最大。
由此可以得到状态转移方程：
-
if(j>=w[i]) -
m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]); -
else -
m[i][j]=m[i-1][j];
例：0-1背包问题。在使用动态规划算法求解0-1背包问题时，使用二维数组m[i][j]存储背包剩余容量为j，可选物品为i、i+1、……、n时0-1背包问题的最优值。绘制
价值数组v = {8, 10, 6, 3, 7, 2}，
重量数组w = {4, 6, 2, 2, 5, 1}，
背包容量C = 12时对应的m[i][j]数组。
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 8 | 8 | 10 | 10 | 10 | 10 | 18 | 18 | 18 |
| 3 | 0 | 6 | 6 | 8 | 8 | 14 | 14 | 16 | 16 | 18 | 18 | 24 |
| 4 | 0 | 6 | 6 | 9 | 9 | 14 | 14 | 17 | 17 | 19 | 19 | 24 |
| 5 | 0 | 6 | 6 | 9 | 9 | 14 | 14 | 17 | 17 | 19 | 21 | 24 |
| 6 | 2 | 6 | 8 | 9 | 11 | 14 | 16 | 17 | 19 | 19 | 21 | 24 |
(第一行和第一列为序号，其数值为0)
如m[2][6],在面对第二件物品，背包容量为6时我们可以选择不拿，那么获得价值仅为第一件物品的价值8，如果拿，就要把第一件物品拿出来，放第二件物品，价值10，那我们当然是选择拿。m[2][6]=m[1][0]+10=0+10=10;依次类推，得到m[6][12]就是考虑所有物品，背包容量为C时的最大价值。
-
#include <iostream> -
#include <cstring> -
using namespace std; -
const int N=15; -
int main() -
{ -
int v[N]={0,8,10,6,3,7,2}; -
int w[N]={0,4,6,2,2,5,1}; -
int m[N][N]; -
int n=6,c=12; -
memset(m,0,sizeof(m)); -
for(int i=1;i<=n;i++) -
{ -
for(int j=1;j<=c;j++) -
{ -
if(j>=w[i]) -
m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]); -
else -
m[i][j]=m[i-1][j]; -
} -
} -
for(int i=1;i<=n;i++) -
{ -
for(int j=1;j<=c;j++) -
{ -
cout<<m[i][j]<<' '; -
} -
cout<<endl; -
} -
return 0; -
}
到这一步，可以确定的是可能获得的最大价值，但是我们并不清楚具体选择哪几样物品能获得最大价值。
另起一个 x[ ] 数组，x[i]=0表示不拿，x[i]=1表示拿。
m[n][c]为最优值，如果m[n][c]=m[n-1][c] ,说明有没有第n件物品都一样，则x[n]=0 ; 否则 x[n]=1。当x[n]=0时，由x[n-1][c]继续构造最优解；当x[n]=1时，则由x[n-1][c-w[i]]继续构造最优解。以此类推，可构造出所有的最优解。（这段全抄算法书，实在不知道咋解释啊。。）
#coding:utf-8
import sys
def track(d, c, w): #输出最优路径
x = []
for i in range(len(w), 1, -1): #m[n][c]为最优值，如果m[n][c]=m[n-1][c] ,说明有没有第n件物品都一样
if d[i][c] != d[i - 1][c]:
x.append(w[i - 1])
c = c - w[i - 1]
if d[1][c] > 0:
x.append(w[0])
return x
if __name__ == '__main__':
c = input() #输入一个限制条件，例如背包的体积为c
w = sys.stdin.readline().strip().split(' ') #每个物品的体积
w = map(int, w)
v = sys.stdin.readline().strip().split(' ') #对应每个物体的价值
v = map(int, v)
dp = [[0] * (c + 1) for i in range(len(w) + 1)] #动态规划矩阵
for i in range(1, len(w) + 1):
for j in range(1, c + 1):
if j >= w[i - 1]:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]) #动态转移方程
else:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
print max(dp[len(w)]) #输出最大值
print track(dp, c, w) #输出最优路径