动态规划、记忆化搜索、Dijkstra算法的总结
动态规划
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。
动态规划一般可分为线性动规，区域动规，树形动规，背包动规四类。
举例：
线性动规：拦截导弹，合唱队形，挖地雷，建学校，剑客决斗等；
区域动规：石子合并， 加分二叉树，统计单词个数，炮兵布阵等；
树形动规：贪吃的九头龙，二分查找树，聚会的欢乐，数字三角形等；
背包问题：01背包问题，完全背包问题，分组背包问题，二维背包，装箱问题，挤牛奶（
同济ACM第1132题）等
任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。
1.
最优化原理（最优子结构性质） 最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。
2.
无后效性将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。
3.子问题的重叠性 动态规划将原来具有指数级时间复杂度的
搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其它的算法。
记忆化搜索 记忆化搜索=搜索的形式+动态规划的思想
记忆化搜索：算法上依然是搜索的流程，但是搜索到的一些解用
动态规划的那种思想和模式作一些保存。
一般说来，动态规划总要遍历所有的状态，而搜索可以排除一些无效状态。
更重要的是搜索还可以剪枝，可能剪去大量不必要的状态，因此在空间开销上往往比动态规划要低很多。
记忆化算法在求解的时候还是按着自顶向下的顺序，但是每求解一个状态，就将它的解保存下来，
以后再次遇到这个状态的时候，就不必重新求解了。
这种方法综合了搜索和动态规划两方面的优点，因而还是很有实用价值的
Dijkstra算法
迪杰斯特拉算法是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
1.首先，引入一个辅助向量D，它的每个分量 D
表示当前所找到的
Dijkstra算法运行动画过程
从起始点
（即源点
）到其它每个顶点
的长度。
Dijkstra算法运行动画过程
2.D的初始状态为：若从
到
有弧（即从
到
存在连接边），则D
为弧上的权值（即为从
到
的边的权值）；否则置D
为∞。
显然，长度为 D
= Min{ D |
∈V } 的路径就是从
出发到顶点
的长度最短的一条路径，此路径为(
)。
3.那么，下一条长度次短的是哪一条呢？也就是找到从源点
到下一个顶点的最短路径长度所对应的顶点，且这条最短路径长度仅次于从源点
到顶点
的最短路径长度。
假设该次短路径的终点是
，则可想而知，这条路径要么是(
)，或者是(
)。它的长度或者是从
到
的弧上的权值，或者是D
加上从
到
的弧上的权值。
4.一般情况下，假设S为已求得的从源点
出发的最短路径长度的顶点的集合，则可证明：下一条次最短路径（设其终点为
）要么是弧(
)，或者是从源点
出发的中间只经过S中的顶点而最后到达顶点
的路径。
因此，下一条长度次短的的最短路径长度必是D
= Min{ D
|
∈V-S }，其中D
要么是弧(
)上的权值，或者是D
(
∈S)和弧(
,
)上的权值之和。
算法描述如下：
1）令arcs表示弧上的权值。若弧不存在，则置arcs为∞（在本程序中为MAXCOST）。S为已找到的从
出发的的终点的集合，初始状态为空集。那么，从
出发到图上其余各顶点
可能达到的长度的初值为D=arcs[Locate Vex(G,
)]，
∈V；
2）选择
，使得D
=Min{ D |
∈V-S } ；
按路径长度
递增次序产生算法：
把顶点集合V分成两组：
（1）S：已求出的顶点的集合（初始时只含有源点V0）
（2）V-S=T：尚未确定的顶点集合
将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证：
（1）从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度
（2）每个顶点对应一个距离值
S中顶点：从V0到此顶点的长度
T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度
依据：可以证明V0到T中顶点Vk的，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和
（
反证法可证）
求最短路径步骤
算法步骤如下：
G={V,E}
1. 初始时令 S={V0},T=V-S={其余顶点}，T中顶点对应的距离值
若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值
若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∞
2. 从T中选取一个与S中顶点有关联边且权值最小的顶点W，加入到S中
3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值缩短，则修改此距离值
重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止
算法实现
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#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define max 11000000000
inta[1000][1000];
intd[1000];
//d表示某特定边距离
intp[1000];
//p表示永久边距离
inti,j,k;
intm;
//m代表边数
intn;
//n代表点数
intmain()
{
scanf
(
"%d%d"
,&n,&m);
intmin1;
intx,y,z;
for
(i=1;i<=m;i++)
{
scanf
(
"%d%d%d"
,&x,&y,&z);
a[x][y]=z;
a[y][x]=z;
}
for
(i=1;i<=n;i++)
d[i]=max1;
d[1]=0;
for
(i=1;i<=n;i++)
{
min1=max1;
for
(j=1;j<=n;j++)
if
(!p[j]&&d[j]<min1)
{
min1=d[j];
k=j;
}
p[k]=j;
for
(j=1;j<=n;j++)
if
(a[k][j]!=0&&!p[j]&&d[j]>d[k]+a[k][j])
d[j]=d[k]+a[k][j];
}
for
(i=1;i<n;i++)
printf
(
"%d->"
,p[i]);
printf
(
"%d\n"
,p[n]);
return0;
}
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大学经典教材<<数据结构>>(C语言版 严蔚敏 吴为民 编著) 中该算法的实现
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/*
测试数据 教科书 P189 G6 的邻接矩阵 其中 数字 1000000 代表无穷大
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1000000 1000000 10 100000 30 100
1000000 1000000 5 1000000 1000000 1000000
1000000 1000000 1000000 50 1000000 1000000
1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 10
1000000 1000000 1000000 20 1000000 60
1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000
结果：
D[0] D[1] D[2] D[3] D[4] D[5]
0 1000000 10 50 30 60
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define MAX 1000000
using
namespace
std;
int
arcs[10][10];
//邻接矩阵
int
D[10];
//保存最短路径长度
int
p[10][10];
//路径
int
final[10];
//若final[i] = 1则说明 顶点vi已在集合S中
int
n = 0;
//顶点个数
int
v0 = 0;
//源点
int
v,w;
void
ShortestPath_DIJ()
{
for
(v = 0; v < n; v++)
//循环 初始化
{
final[v] = 0; D[v] = arcs[v0][v];
for
(w = 0; w < n; w++) p[v][w] = 0;
//设空路径
if
(D[v] < MAX) {p[v][v0] = 1; p[v][v] = 1;}
}
D[v0] = 0; final[v0]=0;
//初始化 v0顶点属于集合S
//开始主循环 每次求得v0到某个顶点v的最短路径 并加v到集合S中
for
(
int
i = 1; i < n; i++)
{
int
min = MAX;
for
(w = 0; w < n; w++)
{
//我认为的核心过程--选点
if
(!final[w])
//如果w顶点在V-S中
{
//这个过程最终选出的点 应该是选出当前V-S中与S有关联边
//且权值最小的顶点 书上描述为 当前离V0最近的点
if
(D[w] < min) {v = w; min = D[w];}
}
}
final[v] = 1;
//选出该点后加入到合集S中
for
(w = 0; w < n; w++)
//更新当前最短路径和距离
{
/*在此循环中 v为当前刚选入集合S中的点
则以点V为中间点 考察 d0v+dvw 是否小于 D[w] 如果小于 则更新
比如加进点 3 则若要考察 D[5] 是否要更新 就 判断 d(v0-v3) + d(v3-v5) 的和是否小于D[5]
*/
if
(!final[w] && (min+arcs[v][w]<D[w]))
{
D[w] = min + arcs[v][w];
// p[w] = p[v];
p[w][w] = 1;
//p[w] = p[v] + [w]
}
}
}
}
int
main()
{
cin >> n;
for
(
int
i = 0; i < n; i++)
{
for
(
int
j = 0; j < n; j++)
{
cin >> arcs[i][j];
}
}
ShortestPath_DIJ();
for
(
int
i = 0; i < n; i++)
printf
(
"D[%d] = %d\n"
,i,D[i]);
return
0;
}
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动态规划
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。
动态规划一般可分为线性动规，区域动规，树形动规，背包动规四类。
举例：
线性动规：拦截导弹，合唱队形，挖地雷，建学校，剑客决斗等；
区域动规：石子合并， 加分二叉树，统计单词个数，炮兵布阵等；
树形动规：贪吃的九头龙，二分查找树，聚会的欢乐，数字三角形等；
背包问题：01背包问题，完全背包问题，分组背包问题，二维背包，装箱问题，挤牛奶（
同济ACM第1132题）等
任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。
1.
最优化原理（最优子结构性质） 最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。
2.
无后效性将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。
3.子问题的重叠性 动态规划将原来具有指数级时间复杂度的
搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其它的算法。
记忆化搜索 记忆化搜索=搜索的形式+动态规划的思想
记忆化搜索：算法上依然是搜索的流程，但是搜索到的一些解用
动态规划的那种思想和模式作一些保存。
一般说来，动态规划总要遍历所有的状态，而搜索可以排除一些无效状态。
更重要的是搜索还可以剪枝，可能剪去大量不必要的状态，因此在空间开销上往往比动态规划要低很多。
记忆化算法在求解的时候还是按着自顶向下的顺序，但是每求解一个状态，就将它的解保存下来，
以后再次遇到这个状态的时候，就不必重新求解了。
这种方法综合了搜索和动态规划两方面的优点，因而还是很有实用价值的
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Dijkstra算法
迪杰斯特拉算法是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
1.首先，引入一个辅助向量D，它的每个分量 D
表示当前所找到的
Dijkstra算法运行动画过程
从起始点
（即源点
）到其它每个顶点
的长度。
Dijkstra算法运行动画过程
2.D的初始状态为：若从
到
有弧（即从
到
存在连接边），则D
为弧上的权值（即为从
到
的边的权值）；否则置D
为∞。
显然，长度为 D
= Min{ D |
∈V } 的路径就是从
出发到顶点
的长度最短的一条路径，此路径为(
)。
3.那么，下一条长度次短的是哪一条呢？也就是找到从源点
到下一个顶点的最短路径长度所对应的顶点，且这条最短路径长度仅次于从源点
到顶点
的最短路径长度。
假设该次短路径的终点是
，则可想而知，这条路径要么是(
)，或者是(
)。它的长度或者是从
到
的弧上的权值，或者是D
加上从
到
的弧上的权值。
4.一般情况下，假设S为已求得的从源点
出发的最短路径长度的顶点的集合，则可证明：下一条次最短路径（设其终点为
）要么是弧(
)，或者是从源点
出发的中间只经过S中的顶点而最后到达顶点
的路径。
因此，下一条长度次短的的最短路径长度必是D
= Min{ D
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∈V-S }，其中D
要么是弧(
)上的权值，或者是D
(
∈S)和弧(
,
)上的权值之和。
算法描述如下：
1）令arcs表示弧上的权值。若弧不存在，则置arcs为∞（在本程序中为MAXCOST）。S为已找到的从
出发的的终点的集合，初始状态为空集。那么，从
出发到图上其余各顶点
可能达到的长度的初值为D=arcs[Locate Vex(G,
)]，
∈V；
2）选择
，使得D
=Min{ D |
∈V-S } ；
按路径长度
递增次序产生算法：
把顶点集合V分成两组：
（1）S：已求出的顶点的集合（初始时只含有源点V0）
（2）V-S=T：尚未确定的顶点集合
将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证：
（1）从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度
（2）每个顶点对应一个距离值
S中顶点：从V0到此顶点的长度
T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度
依据：可以证明V0到T中顶点Vk的，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和
（
反证法可证）
求最短路径步骤
算法步骤如下：
G={V,E}
1. 初始时令 S={V0},T=V-S={其余顶点}，T中顶点对应的距离值
若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值
若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∞
2. 从T中选取一个与S中顶点有关联边且权值最小的顶点W，加入到S中
3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值缩短，则修改此距离值
重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止
算法实现
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#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define max 11000000000
inta[1000][1000];
intd[1000];
//d表示某特定边距离
intp[1000];
//p表示永久边距离
inti,j,k;
intm;
//m代表边数
intn;
//n代表点数
intmain()
{
scanf
(
"%d%d"
,&n,&m);
intmin1;
intx,y,z;
for
(i=1;i<=m;i++)
{
scanf
(
"%d%d%d"
,&x,&y,&z);
a[x][y]=z;
a[y][x]=z;
}
for
(i=1;i<=n;i++)
d[i]=max1;
d[1]=0;
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(i=1;i<=n;i++)
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min1=max1;
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if
(!p[j]&&d[j]<min1)
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min1=d[j];
k=j;
}
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for
(j=1;j<=n;j++)
if
(a[k][j]!=0&&!p[j]&&d[j]>d[k]+a[k][j])
d[j]=d[k]+a[k][j];
}
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(i=1;i<n;i++)
printf
(
"%d->"
,p[i]);
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测试数据 教科书 P189 G6 的邻接矩阵 其中 数字 1000000 代表无穷大
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1000000 1000000 5 1000000 1000000 1000000
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结果：
D[0] D[1] D[2] D[3] D[4] D[5]
0 1000000 10 50 30 60
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define MAX 1000000
using
namespace
std;
int
arcs[10][10];
//邻接矩阵
int
D[10];
//保存最短路径长度
int
p[10][10];
//路径
int
final[10];
//若final[i] = 1则说明 顶点vi已在集合S中
int
n = 0;
//顶点个数
int
v0 = 0;
//源点
int
v,w;
void
ShortestPath_DIJ()
{
for
(v = 0; v < n; v++)
//循环 初始化
{
final[v] = 0; D[v] = arcs[v0][v];
for
(w = 0; w < n; w++) p[v][w] = 0;
//设空路径
if
(D[v] < MAX) {p[v][v0] = 1; p[v][v] = 1;}
}
D[v0] = 0; final[v0]=0;
//初始化 v0顶点属于集合S
//开始主循环 每次求得v0到某个顶点v的最短路径 并加v到集合S中
for
(
int
i = 1; i < n; i++)
{
int
min = MAX;
for
(w = 0; w < n; w++)
{
//我认为的核心过程--选点
if
(!final[w])
//如果w顶点在V-S中
{
//这个过程最终选出的点 应该是选出当前V-S中与S有关联边
//且权值最小的顶点 书上描述为 当前离V0最近的点
if
(D[w] < min) {v = w; min = D[w];}
}
}
final[v] = 1;
//选出该点后加入到合集S中
for
(w = 0; w < n; w++)
//更新当前最短路径和距离
{
/*在此循环中 v为当前刚选入集合S中的点
则以点V为中间点 考察 d0v+dvw 是否小于 D[w] 如果小于 则更新
比如加进点 3 则若要考察 D[5] 是否要更新 就 判断 d(v0-v3) + d(v3-v5) 的和是否小于D[5]
*/
if
(!final[w] && (min+arcs[v][w]<D[w]))
{
D[w] = min + arcs[v][w];
// p[w] = p[v];
p[w][w] = 1;
//p[w] = p[v] + [w]
}
}
}
}
int
main()
{
cin >> n;
for
(
int
i = 0; i < n; i++)
{
for
(
int
j = 0; j < n; j++)
{
cin >> arcs[i][j];
}
}
ShortestPath_DIJ();
for
(
int
i = 0; i < n; i++)
printf
(
"D[%d] = %d\n"
,i,D[i]);
return
0;
}
|