COMSOL冻土模型——水热耦合

第一次用CSDN写博客，写到半截没点保存，真是气死个人。算了，言归正传。COMSOL多物理场耦合的文档里有许多典型实例。冻土是一个较为复杂的多长耦合，其中包括水分迁移，热量传递，相变等物理过程。有相关论文对于此问题进行了研究并建立了不同的模型，如水热模型，水热力模型，水热力化学模型等等。下面介绍一个水热模型并用COMSOL实现数值模拟。

热场：

$C_a\frac{\partial{T}}{\partial{t}}=\nabla\cdot(\lambda\nabla{T})-C_w\nabla(\mathbf{J}T)$

等号左边代表某一点的热量随时间变化，等号右边第一项为热传导发生的热量变化，第二项是未冻水分迁移带来的热量变化。参数如下：

$C_a=C_s\theta_{soil}+C_w\theta_w+C_i\theta_i+C_v(1-\theta_{soil}-\theta_w-\theta_i)+L_f\frac{\mathrm{d} \theta_i}{\mathrm{d} t}$

$\lambda=C_1+C_2(\theta_w+\theta_iF)-(C_1-C_4)\cdot exp\{-[C_3(\theta_w+\theta_i)+F\theta_i]^{C_5}\}$

$F=1+F_1\theta_{i}^{F_2}$

$C_a$ 和 $\lambda$ 是耦合参数，除 $\theta_w,\theta_i$ 是变量外，其余均为常数参数。

水分场：

$\frac{\partial{\theta_w}}{\partial{t}}+\frac{\rho_i}{\rho_w}\frac{\partial{\theta_i}}{\partial{t}}=\nabla\cdot(K_{Lh}\nabla h+K_{Lh}i+K_{LT}\nabla T)$

等式左边是未冻水和冰含量随时间变化，等式右边为水分迁移。

$K_{Lh}=K_sS_e[1-(1-S_{e}^{1/m})^m]^2$

为与土壤水分含量相关的水力导度

$S_e=\frac{\theta-\theta_r}{\theta_s-\theta_r}=(1+|\alpha h|^n)^{-m}$

为土壤饱和度

$K_{LT}=K_{Lh}(hG_{wT}\frac{1}{\gamma_0}\frac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} T})$

为与温度相关的水力导度

$\gamma=75.6-0.1425T-2.38\times10^{-4}T^2$

为土壤水表面张力

以上就是冻土水热模型的数理方程，可见其参数比较多，可以分为以下几类：

常数

Cs	2e-6 J/(m^-3K)	C5	4
Cw	4.2e-6 J/(m^-3K)	F1	13.05
Ci	1.935e-6 J/(m^-3*K)	Ks	3.2e-6m/s
Cv	1.2e-3 J/(m^-3*K)	m	0.2
Lf	3.34e-5 J/kg	n	1.48
$\theta_{soil}$	0.465	$\alpha$	1.11
C1	0.55	$\theta_r$	0.05
C2	0.8	$\theta_s$	0.535
C3	3.07	Gwt	7
C4	0.13	$\gamma_0$	71.89g/s^2

耦合参数，包括 $C_a{(\theta_i,\theta_w)},\lambda{(\theta_i,\theta_w)},K_{Lh}{(\theta_i,\theta_w)},K_{LT}{(\theta_i,\theta_w,T,h)},h{(\theta_i,\theta_w)}$ ,前3个参数均可以通过设定函数，直接带入，值得注意的是参数 $K_{LT}{(\theta_i,\theta_w,T,h)},h{(\theta_i,\theta_w)}$ :

$S_e=\frac{\theta-\theta_r}{\theta_s-\theta_r}=(1+|\alpha h|^n)^{-m}$

$K_{LT}=K_{Lh}(hG_{wT}\frac{1}{\gamma_0}\frac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} T})$

为了描述相变过程，引入了克拉博龙方程（clapeyron-equation）：

$\frac{\mathrm{d} h }{\mathrm{d} T}=\frac{\L_f}{gT}$

COMSOL冻土模型——水热耦合

热场：

水分场：

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