四元数数学
（一）介绍
（1）什么是四元数
首先我们来回忆一下，在我们高中时学的复数，其由实部和虚部组成，即 x=a + bi，a是实部，i是虚数单位，且i² = -1；
而四元数，它本质上是一种高阶复数，一种形如 A = a + bi + cj + dk 的数。数学家把四元数集合称为Hamilton四元数环，表示为H，可以看作一个四维向量空间，其包含了3个虚数单位和1个实部，满足i² = j² = k² = -1；
（2）四元数的起源与说明
There’s a story that Hamilton wrote in his memoirs, about him coming down tobreakfast and his son asking him, “Papa, can you multiply triplets?” and he would sadly respond, “No, I can only add and subtract them.” The problem is those ij and ji terms (and as it turns out, the order matters). Also want multiplication that avoids
zero divisors, i.e. we don’t want non-zero numbers that multiply together to produce zero (every non-zero number needs an inverse – this is known as a division algebra).Nothing he came up with three terms would work. (Cross product doesn’t work –cross product of parallel vectors is zero.)
四元数由Hamilton发明，这一发明起源于十九世纪的某一天。Hamilton在他的回忆里就写着这么一个故事，有一个早上，Hamilton下楼吃早饭。这时他的儿子问他：“爸爸，我们能够对三元数组（triplet，可以理解为三维向量）做乘法运算么？”Hamilton说“不行，我只能加减它们。”问题是那些 ij 和 ji 的关系(事实证明,顺序很重要)。也希望是一个能避免零因子的乘法，即我们不希望非零数字乘在一起产生零(每个非零数字都需要一个逆——这被称为可除代数)。Hamilton提出的三个条件都行不通。(叉乘行不通——平行向量的叉乘为零)。
十九世纪的Hamilton也许确实不知道内积（点乘）和外积（叉乘），但是他知道，他想要的三维向量乘法要比内积和外积运算“高大上”很多。
这一乘法运算要满足下列四条性质：
1. 运算产生的结果也要是三维向量；
2.存在一个元运算，任何三维向量进行元运算的结果就是其本身；
3.对于任何一个运算，都存在一个逆运算，这两个运算的积是元运算；
4.运算满足结合律；
换而言之，Hamilton想定义的不是一个简单的映射关系，而是一个群！（后来我们知道四元数所在群为S3，而四元数所代表的三维旋转是SO(3)，前者是后者的两倍覆盖）内积连性质1都不满足，外积不满足性质3。
In 1843, as Hamilton was walking along the Royal Canal under the Brougham Bridge in Dublin, he had his insight – with 3 imaginary values he could get a complete system of numbers where multiplication provided proper inverses. He was so excited he carved the first set of equations onto the bridge. Notice that now multiplication is no longer commutative - the imaginary values are anticommutative. If you’re familiar with cross products this may seem very familiar – in fact the cross product comes from quaternion math.
Hamilton就这么被自己儿子提出的问题难倒了。经历了无数个日日夜夜，他绞尽脑汁也没想明白这个问题。终于有一天（1843年的一天），Hamilton在都柏林皇家运河上的Brougham桥上走着走着，突然意识到了，通过3个虚数可以获得一个完整的数字系统，其乘法提供了适合的逆；自己所需要的运算在三维空间中是不可能实现的，但在四维空间中是可以的。他是如此的兴奋，以至于把四元数的公式刻在桥上。注意：现在的这个乘法不再是可交替的（即不满足交换律），虚数是不可交替的；如果您熟悉叉乘的话，这看起来将似曾相识——事实上叉乘是来自四元数数学。（实在不知道怎么翻译更好了，原文来自《Essential Mathematics for Games and Interactive Applications》，可自行查阅）
其实，四元数有四个变量，完全可以被看作一个四维向量。单位四元数（norm=1）则存在于四维空间的一个球面上。
q₁q₂,四元数q₁乘以四元数q₂其实可以看作:
（1）对q₁进行q₂左旋转;
（2）或对q₂进行q₁右旋转;
所以从始至终，四元数定义的都是四维旋转，而不是三维旋转。任意的四维旋转都可以唯一的拆分为一个左旋转和一个右旋转，表达出来就是qᴸPqᴿ。这里，我们对四元数（四维向量）P进行了一个左旋转qᴸ和一个右旋转qᴿ。结果当然是一个四元数，符合性质1。这个运算也同时符合性质2，3，4。
同时，Hamilton也给出了四元数的加法 、乘法规则以及四元数的逆和模 ,指出四元数能通过旋转 、伸长或缩短将一个给定的矢量变成另一个矢量。
（二）四元数相关公式及其推导
（1）四元数q的定义
In mathematics , the quaternions are a number system that extends the complex numbers.
数学中，四元数是扩展复数的数字系统。一般表现形式如下：
q= < w,x,y,z > = w + xi + yj + zk ；（w、x、y、z是实数，i、j、k是虚数；）
或者：q= S + V；（S=w, V=(xi , yj , zk)）
（2）虚数基元i j k的运算规则（ijk可理解为xyz轴的单位矢量）
i² = j² = k² = -1； （虚数的平方为-1，其0次方为1）
i* = -i； j* = -j； k* = -k；（虚数的逆为其负值，即共轭）
ij = k； jk = i； ki = j；（根据ijkijki…的顺序，任意连续两位相乘为后一位）
ij = -ji； jk = -kj； ki = -ik；（两虚数乘法不符合交换律）
（3）四元数乘法（先不管其有啥意义）
- 两个四元数的乘法按多项式乘法进行，可以把这种乘法叫做直乘；
q₁q₂=(w₁+x₁i+y₁j+z₁k)(w₂+x₂i+y₂j+z₂k)
= (w₁w₂-x₁x₂-y₁y₂-z₁z₂)
+ (w₁x₂+x₁w₂+y₁z₂-z₁y₂)i
+ (w₁y₂+y₁w₂+z₁x₂-x₁z₂)j
+ (w₁z₂+z₁w₂+x₁y₂-y₁x₂)k
这是推导过程：（很简单）直接按多项式相乘，改变位置，根据ii=-1, jk=i,kj=-i - 令向量V= xi + yj + zk （上文说过，i、j、k可以理解为xyz轴的单位向量）
即：
V₁V₂=(x₁ i+y₁j+z₁k)(x₂i+y₂j+z₂k)
=-(x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂)
+ (y₁z₂-z₁z₂)i
+ (z₁x₂-x₁z₂)j
+ (x₁y₂-y₁x₂)k
= -V₁·V₂ + V₁×V₂ （这个结论很重要！！！）
最后三项是叉乘，第一项是点乘的负数。
补充：（其实这个都是没必要论证的，都是规定）
论证 ① i² = j² = k² = -1；
② ij = k； jk = i； ki = j；
③ ij = -ji； jk = -kj； ki = -ik；
证明① ：ii=-i·i + i×i，因为i和i为平行的单位向量，cos90°=0且|i|=1，-i·i = -|i||i| cos90°=0（关于点乘，可以自行百度），为0向量，即结果为0；因为sin90°=1，|i×i| = |i||i| sin90° = -1；所以ii = -1；
证明②：ij = -i·j + i×j，因为 i 和 j 垂直，cos90°=0，即 ij = i×j，i×j（叉乘）的结果为垂直于i j共面的一个向量，参考上图的a × b。假设 i 对应x轴（同a），j 对应y轴（同b），k 对应z轴（同a × b），有 i×j=k，既 ij = k；
证明③：ij = i×j，-ji = -j×i，参考上图，j 对应 b，i 对应 a，b × a = -a × b，即 i×j = -j×i，即 ij = -ji；（关于叉乘，可以自行百度）
3. 两个四元数相乘的另一种表达方式
q₁q₂=（S₁+V₁）（S₂+V₂）
=S₁S₂ + S₁ V₂ + S₂ V₁ + V₁V₂
=S₁S₂ + S₁ V₂ + S₂ V₁ - V₁·V₂ + V₁×V₂
通过此方法，将向量的点乘和叉乘纳入了四元素的乘法之中；
该乘法满足交换律：q₁q₂q₃ = (q₁q₂)q₃ = q₁(q₂q₃)
该乘法满足分配律：λ（q₁ + q₂）=λq₁ + λq₂
4. 四元数的共轭运算（*表示共轭）
① q*=（S，-V）=(w，-xi , -yj , -zk)
②（q₁q₂）* = q₂q₁
推导过程的关键在于把q1q2拆成s和v，v1v2再用xyz表示。
知道共轭，可以使用共轭提取四元数的标量和矢量部分。 q的标量部分是（ q + q* ）/ 2 ， q的矢量部分是（ q - q* ）/ 2 。
5. 四元数q=w + xi + yj + zk的范数和模
||q|| = w²+ x² + y² + z²
|q| = √(w² + x^² + y² + z²)
即 |q|² = ||q||
6. 将矢量点乘V₁·V₂和矢量叉V₁×V₂表示为直乘的组合V₁V₂
V₁·V₂ = -1/2（V₁V₂ + V₂V₁）
V₁×V₂ = 1/2（V₁V₂ - V₂V₁）
因此，有如下结论，
v1垂直v2则点乘为0，则v1v2+v2v1为0
v1平行v2则叉乘为0，则v1v2-v2v1为0
7. 由v的逆乘以v为1定义非0矢量的逆
V*V = -（-V）V = V·V = ||V||
Vˉ¹ = V*/||V|| （这个结论要旋转会用到！）
以下是推导过程：
V*V = -(-V)V = -(-V)·V + (-V)×V = V·V=∣V∣∣V∣COS0 = ||v||
Vˉ¹ = V*/||V|| （Vˉ¹ vv* = 1V* => vˉ¹ = V*/||V||）
8. .由qˉ¹q=1定义非零四元数的逆
q*q = (w，V)(w，-V)
= ｗ² - w V + V w - VV
= w² - （-V·V + V×V）
= w² + |V||V|cos0
= w² + |V|²
= |q|²
= ||q||
= qq*
qˉ¹q=1 => qˉ¹qq*=q*
qˉ¹ = q*/ ||q||
qqˉ¹ = qˉ¹q = (1, 0, 0, 0)
二、游戏中的应用
（一）四元数旋转
（1）为啥使用四元数
四元数是3d图形程序员用来表示旋转的数学方法，在许多情况下，与用矩阵表示的旋转相比，用四元数表示的旋转有如下优点：
1. 所需的存储空间比矩阵小；
2. 合并的四元数所需的代数操作少；
3. 对四元数的插值更容易实现，从而产生连续的动画；
（2）先来考虑一个矢量的旋转
设矢量V₀旋转θ角变成矢量V₁，|V₀| = |V₁| = r；设垂直于V₀ 、V₁所在平面的转轴方向单位矢量 为℮ᶇ，转动方向与转轴方向遵循右手定则；
因：V₀·V₁ = r²cosθ
V₀×V₁ = ℮ᶇ r²sinθ
(V₀×V₁的结果是一个垂直于V₀和V₁所在面的向量，符合右手定则，既方向与℮ᶇ一致，且|V₀×V₁| = |V₀||V₁|sinθ = r²sinθ)
则：V₁V₀ = -V₁·V₀ + V₁×V₀
= -V₀·V₁ - V₀×V₁
= -r²cosθ - ℮ᶇ r²sinθ
V₁ = （-r²cosθ - ℮ᶇ r²sinθ）V₀ˉ¹
= 1/r²（-r²cosθ - ℮ᶇ r²sinθ）（-V₀）
= （cosθ + ℮ᶇ sinθ）V₀
=> V₁ = （cosθ + ℮ᶇ sinθ）V₀
可以看出，（cosθ + ℮ᶇ sinθ）为一个以℮ᶇ 为旋转轴且旋转量为θ的旋转，乘以V₀后得到V₁，即为绕℮ᶇ轴旋转θ角后的矢量。
（这个概念很重要！！注意旋转方向，右手法则。但是要注意，这里的情况是℮ᶇ轴与旋转的向量是垂直的，这才成立！！那如果绕不垂直于该轴的旋转呢？继续看下去）
如果V₀反向旋转，即 cos(-θ) + ℮ᶇ sin(-θ)，等同于cosθ + (-℮ᶇ)sinθ，相当于转轴反向。
（3）四元数代表的旋转意义
任意一个四元素也表示一个绕℮ᶇ轴的旋转（注意：旋转的向量是与℮ᶇ垂直的，不垂直的情况呢？接下来会分析）；其使向量旋转的同时，向量的大小变为原来的|q|倍，这是四元数的几何意义；
四元数的逆
q = (w, v) = （cos(θ/2), sin(θ/2)℮ᶇ）
qˉ¹ = (w, v)ˉ¹
= （cos(−θ/2), sin(−θ/2)℮ᶇ）（也就是反过来转，相当于逆）
= （cos(θ/2), − sin(θ/2)℮ᶇ）
= (w, −v)
= q*（表示共轭，仅当q为单位四元数时成立）
Using this representation we can determine what the inverse would be. We just negate the angle, move some signs around and we discover that the conjugate is the same as inverse. But as it says, this is only true for unit quaternions.
使用这个表达式，我们可以确定它的逆。我们只需要将角度反向，移动一些符号，我们就能发现，共轭和逆是一样的。当然，这仅当该四元数为单位化时才成立。