转载自： https://blog.csdn.net/u012061345/article/details/52224623
简单的例子
Fibonacci数列
考虑FibonacciFibonacci数列，
F(n)=F(n−1)+F(n−2)F(n)=F(n−1)+F(n−2)
将右边两项看做是一个列向量的形式，令
Xn−1={Fn−1Fn−2}Xn−1={Fn−1Fn−2}
很容易得到XnXn的形式，即
Xn={FnFn−1}Xn={FnFn−1}
现在的任务就是找到一个系数矩阵AA，使得AXn−1=XnAXn−1=Xn，且AA需与nn无关。
如果能够找到这个AA，则易知An−1X1=XnAn−1X1=Xn，于是可以利用矩阵快速幂计算出XnXn。这样就可以在O(logn)O(logn)的时间内计算出指定的FibonacciFibonacci数。
这个矩阵很容易找，观察易得
A={1110}(1)(1)A={1110}
Fibonacci数列变种
推广一下，如果令Fn=aFn−1+bFn−2Fn=aFn−1+bFn−2，则系数矩阵为
A={a1b0}(2)(2)A={ab10}
利用二项式展开构造矩阵
计算k次方和
FibonacciFibonacci数列只是最简单的例子，对于稍微复杂一点的例子，二项式展开是常用的一项技术。
考虑计算：
Sn=∑i=1nikSn=∑i=1nik
易得
Sn=nk+Sn−1Sn=nk+Sn−1
如果仿照FibonacciFibonacci数列，令
Xn−1={nkSn−1}Xn−1={nkSn−1}
则
Xn={(n+1)kSn}Xn={(n+1)kSn}
此时，可求出
A=⎧⎩⎨(n+1n)k101⎫⎭⎬A={(n+1n)k011}
这个系数矩阵很明显是不能用的，因为它与nn有关，无法将递推公式转化为矩阵的幂运算。
这里需要使用二项式展开。
Sn=(n−1+1)k+Sn−1=C0k(n−1)k+C1k(n−1)k−1+⋯+Ckk+Sn−1Sn=(n−1+1)k+Sn−1=Ck0(n−1)k+Ck1(n−1)k−1+⋯+Ckk+Sn−1
此时，如果令
Xn−1=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(n−1)k(n−1)k−1⋮(n−1)0Sn−1⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Xn−1={(n−1)k(n−1)k−1⋮(n−1)0Sn−1}
则有
Xn=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪nknk−1⋮n0Sn⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Xn={nknk−1⋮n0Sn}
现在的任务与刚才一样，找到一个系数矩阵AA，使得AXn−1=XnAXn−1=Xn，且AA需与nn无关。
有关SnSn的递推公式实际上就指明了AA的最后一行。而利用二项式展开很容易得到其他行。
有
A=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪C0k0⋮0C0kC1kC0k−1⋮⋯C1k⋯⋯⋱⋯⋯CkkCk−1k−1⋮C00Ckk00⋮01⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(3)(3)A={Ck0Ck1⋯Ckk00Ck−10⋯Ck−1k−10⋮⋮⋱⋮⋮0⋯⋯C000Ck0Ck1⋯Ckk1}
最后有
An−1X1=XnAn−1X1=Xn
且
X1={1 1 ⋯ 1}TX1={1 1 ⋯ 1}T
利用该系数矩阵可以在O(k3logn)O(k3logn)时间内计算出kk次方的和。
更一般的例子
再考虑一个一般情况：
Sn=∑i=1n(ai+b)kSn=∑i=1n(ai+b)k
与刚才几乎一模一样，有
Sn=[a(n−1)+(a+b)]k+Sn−1=C0kak(n−1)k+C1kak−1(a+b)(n−1)k−1+⋯+Ckk(a+b)k+Sn−1Sn=[a(n−1)+(a+b)]k+Sn−1=Ck0ak(n−1)k+Ck1ak−1(a+b)(n−1)k−1+⋯+Ckk(a+b)k+Sn−1
剩下的步骤，也几乎完全与之前的一样，令
Xn−1=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(n−1)k(n−1)k−1⋮(n−1)0Sn−1⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Xn−1={(n−1)k(n−1)k−1⋮(n−1)0Sn−1}
则
Xn=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪nknk−1⋮n0Sn⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Xn={nknk−1⋮n0Sn}
同样，有关SnSn的递推公式实际上就指明了AA的最后一行，其他行则利用二项式展开得到。
有
A=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪C0k0⋮0C0kakC1kC0k−1⋮⋯C1kak−1(a+b)⋯⋯⋱⋯⋯CkkCk−1k−1⋮C00Ckk(a+b)k00⋮01⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(4)(4)A={Ck0Ck1⋯Ckk00Ck−10⋯Ck−1k−10⋮⋮⋱⋮⋮0⋯⋯C000Ck0akCk1ak−1(a+b)⋯Ckk(a+b)k1}
更复杂的例子
假设要计算如下和式：
Sn=∑i=1nikkiSn=∑i=1nikki
同样，将其写成递推公式，有
Sn=nkkn+Sn−1=(n−1+1)kk(n−1)+1+Sn−1=C0k(n−1)kk(n−1)+1+C1k(n−1)k−1k(n−1)+1+⋯+Ckkk(n−1)+1+Sn−1Sn=nkkn+Sn−1=(n−1+1)kk(n−1)+1+Sn−1=Ck0(n−1)kk(n−1)+1+Ck1(n−1)k−1k(n−1)+1+⋯+Ckkk(n−1)+1+Sn−1
将与nn有关的项抽出来作为列向量，令
Xn−1=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(n−1)kk(n−1)+1(n−1)k−1k(n−1)+1⋮(n−1)0k(n−1)+1Sn−1⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Xn−1={(n−1)kk(n−1)+1(n−1)k−1k(n−1)+1⋮(n−1)0k(n−1)+1Sn−1}
则
Xn=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪nkkn+1nk−1kn+1⋮n0kn+1Sn⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Xn={nkkn+1nk−1kn+1⋮n0kn+1Sn}
同样，有关SnSn的递推公式说明了系数矩阵AA的最后一行。而其他行仍然可以由二项式展开得到，只是相差了一个系数kk而已，这很容易解决。
最后，有
A=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪kC0k0⋮0C0kkC1kkC0k−1⋮⋯C1k⋯⋯⋱⋯⋯kCkkkCk−1k−1⋮kC00Ckk00⋮01⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(5)(5)A={kCk0kCk1⋯kCkk00kCk−10⋯kCk−1k−10⋮⋮⋱⋮⋮0⋯⋯kC000Ck0Ck1⋯Ckk1}