EM算法讲解及推导

EM算法也就是Expectation Maximization Algorithm，它是基于极大似然估计方法，如果大家还不是很熟悉极大似然估计可以看看这篇文章https://blog.csdn.net/blank_tj/article/details/82015361

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EM的理解

首先极大似然估计解决了一个什么样的问题呢？极大似然估计是一个已知模型也就是什么样的分布，但是不知道这个分布中参数的具体多少。就像是我知道班级里同学的身高服从正态分布，但是正态分布的$\mu$和$\sigma$我们不知道，然后我们通过极大似然估计来求这个参数，通过已有的数据样本，它是参数估计的一种方法。

那么EM算法是解决什么样子的事情呢？其实呀，EM算法可以理解为是极大似然估计的复杂版，也就是多个极大似然估计组合成了EM算法。
举个例子：一班的成绩服从$\mu_1,\sigma_1$，二班的成绩服从$\mu_2 ,\sigma_2$都是正态分布。首先，我们给出一班的样本和这个模型，通过极大似然估计方法能把$\mu_1,\sigma_1$估计出来，同理给二班的样本和模型也能把$\mu_2,\sigma_2$求出来。对吧，这就是极大似然估计的用处。那么EM算法是什么样呢？现在如果我把一班和二班的样本混合在一起，挑出来了一个人，但是我们不知道这个人是属于一班还是属于二班的，也就是说，我们随便选一个人，但是我们不知道这个人是属于哪个班级，所以也就不知道该往哪个模型套用极大似然估计方法。这就是EM算法所要解决的问题，由两个或者多个混合的模型及其样本组成，来估算出整个混合模型的参数。

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用到的公式：Jenson不等式

$X$是一个随机变量，$f(X)$是一个凸函数（二阶导数大或等于0），那么有：

$E[f(x)] \ge f[E(x)]$

当且仅当$X$是常数的时候等号成立。
如果$f(X)$是凹函数，不等号反向。

横坐标是参数，纵坐标是似然函数，首先我们初始化一个θ1，根据它求似然函数一个紧的下界，也就是图中第一条黑短线，黑短线上的值虽然都小于似然函数的值，但至少有一点可以满足等号（所以称为紧下界），最大化小黑短线我们就hit到至少与似然函数刚好相等的位置，对应的横坐标就是我们的新的θ2，如此进行，只要保证随着θ的更新，每次最大化的小黑短线值都比上次的更大，那么算法收敛，最后就能最大化到似然函数的极大值处。(别人的图)

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EM的数学推导

以两个模型组合来说，即 z=0，z=1代表两个模型。所以当混合时，z就不知道是哪个模型的了，所以z是一个隐变量。因此，需要最大化的似然函数为：

$l(\theta) = \sum^m_{i=1}log\ p(x_i;\theta)=\sum^m_{ i=1}log\sum_zp(x_i,z;\theta)$

接着上图来说，构造这个小黑短线，就要靠Jensen不等式。注意我们这里的log函数是个凹函数，所以我们使用的Jensen不等式的凹函数版本。
根据Jensen函数，需要把log里面的东西写成一个数学期望的形式，注意到log里的和是关于隐变量Z的和，于是自然而然，这个数学期望一定是和Z有关，如果设Q(z)是Z的分布函数，那么可以这样构造：

$log\sum_Z p(x_i,z;\theta) = log\sum_Z Q(z)\frac{p(x_i,z;\theta)}{Q(z)}$

设$Y=\frac{p(x_i,z;\theta)}{Q(z)}$，则$P(Y=\frac{p(x_i,z;\theta)}{Q(z)}) = Q$

则$log\sum_ZQ\frac{p(x_i,z;\theta)}{Q} = log\sum_YP(Y)Y = logE(Y)$

所以$log$里其实构造了一个随机变量$Y$，$Y$是$Z$的函数。
构造好了数学期望，下一步根据Jensen不等式进行缩放：

$logE(Y) \ge E(logY) = \sum_Y P(Y)logY = \sum_Z Q(Z)log\frac{p(x_i,z;\theta)}{Q(Z)}$

$l(\theta) = \sum^m_{i=1}log\sum_Z p(x_i,z;\theta) \ge \sum^m_{i=1}\sum_ZQ(Z)log\frac{p(x_i,z;\theta)}{Q(Z)}$

这个时候保证这个似然函数下界是紧的，需要使等号成立。由Jensen不等式，等式成立的条件是随机变量是常数：

$Y = \frac{p(x_i,z;\theta)}{Q(Z)} = C$

因为$Q(Z)$是$Z$的分布函数，所以：

$\sum_ZQ(Z) = \sum_Z\frac{p(x_i,z;\theta)}{C} = 1$

把$C$乘过去，可得C就是$p(x_i,z)$对$z$求和，所以我们终于知道了：

$Q(Z) = \frac{p(x_i,z;\theta)}{C} = \frac{p(x_i,Z;\theta)}{\sum_Z p(x_i,z;\theta)} = \frac{p(x_i,z;\theta)}{p(x_i)} = p(z|x_i;\theta)$

得到$Q(Z)$，$Q(Z)$就是$p(z_i|x_i)$，或者写成$p(z_i)$都一样，代表第$i$个数据是来自$z_i$的概率。

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EM算法的流程：

首先，初始化参数 $\theta$
1)E-step：根据参数$\theta$计算每个样本属于$z_i$的概率，即这个同学是一班或者二班的概率，这个概率是Q
2)M-step：根据计算得到的Q，求出含有 $\theta$ 的似然函数的下界并最大化它，得到新的参数 $\theta$
重复1）和2），直到收敛。

需要额外说明的是，EM算法在一般情况是收敛的，但是不保证收敛到全局最优，即有可能进入局部的最优。
EM算法在混合高斯模型（GMM），隐马尔科夫模型（HMM）中都有应用，是著名的数据挖掘十大算法之一。