多目标跟踪算法的核心以及瓶颈之处，即是在得到两个set的DR（detection response，其中一个前序set可能是tracklets，但也由DR来表征）之后如何实现二部图匹配。传统的Hungarian算法和Kuhn-Munkras算法可以在最理想情况下以O（n^2）时间复杂度求解。但是在深度学习的时代，如何由DL得方式解决多目标跟踪中的data association问题，也即一个类二部图匹配问题，是有待开发的。
第一次尝试E2E用DL的途径把Data association按照一个二部图匹配问题来解的代表作可以看做A。Mlian在AAAI2017上发表的《Online Multi-target Tracking Using RNN》，其中一个LSTM被用于在Affinity Matrix的基础上生成association matrix，完成匹配。同样是在AAAI2017上，Milan还配套地发布了《Data-driven Approximations to NP hard Problems》，这一篇可以看做上一篇中关联技术的泛化和推广。
然而，Mialn的这两次尝试都可以算是不成不就，其中第一个工作是在Torch上implement的，code很messy，联系过Milan大神本人，他也明确声称算法的performance还不好，只是一次tentative的尝试。
在此之后，再鲜有用如此的工作。可能确实因为多目标跟踪问题本身spatial-temporal错综复杂的属性，再加之训练样本的匮乏（尤其是online methods），再加之implementation需要的effort比较大，导致大家不愿意在如此高产的年代死磕如此低产出的topics。。。直到刷到今年CVPR的这一神作！
本文是两位数学系作者出品，highly mathmatical，对matrix factorization和matrix back-propagation的完整推导令人叹为观止。
下接正题：
Graph matching, 狭义可以理解为二部图匹配，是在连个set之间计算一个点于点的affinity matrix，再依据于此A-matrix，得到一个1-on-1的匹配结果（permutation matrix or indicator vector）。二部图匹配在众多基于matching的领域有重要的研究价值。传统方法是利用Hungarian Algorithm or Khun-Munkres算法求解。研究这篇文章的目的在于继续推进与Shah合作的基于Deep的二部图匹配多目标数据关联文章，用本文的思想代替原先的LSTM模块。这篇文章来自CVPR2018，是据我所知第一篇有严谨推导的E2E deep graph matching。这篇文章的E2E，是由feature extractor开始，指导最后的loss，解决一个geometric or semantic correspondence问题。
核心贡献在于给出了基于矩阵的完整的BP梯度反传推导。整个E2E的梯度流是从loss开始经过对Affinity matrix的求最大特征向量（factorization），一路反传到开始的CNN。
具体地，本文是端到端地训练了一个二部图匹配，匹配的目的是将两张图中的对应点关联起来。具体的体现是一个localization。即，假设img1和img2中各有n和m个点，算法构建一个affinity matrix M矩阵如下：
可见M并不是一个传统的n*m维度的assignment矩阵，而是一个nm * nm维度矩阵。
算法的匹配结果，也就是我们期待的n*m维度的association矩阵，是上（1）中的解v*，而可见v*是矩阵M的最大特征向量。换言之，整个E2E的过程，是在学习如何通过CNN提取feature，然后依据feature构建M，再如何求解M的最大特征向量v*。求解M的v*用到的是power iteration的算法。
也就是说，整个学习过程，是建立在矩阵计算的基础之上。大部分流程是heuristic的现成算法，learnable的部分主要是前面的feature extraction CNN，和构建M时matrix factorization用到的中间参数矩阵
E2E的loss，是一个localization的L2 loss。为何是一个localization问题呢？在我们已经得到img1和img2之间的association confidence matrix S（n*m维度）的基础上，通过将S的每某一行i的m个值（softmax归一化）乘以所有m个img2中node的位置，相当于加权求得了一个位置，因为S的每一行应该是近似one-hot，所以这个求得的位置应当就是与img1中i点对应的点的位置。这一步相当于一个多anchor点加权求和算一个点位置。这个算好了的点的位置，减去GT中与之对应的点的位置，可以得到一个displacement d，这个displacement来自于一对儿点分别在来那个张图上处在不同的location，这一对相互关联的点在两张图上位置坐标之间的displacement。（注意，在GT中，一对匹配的点也不是出现在两张图上完全重合的位置，所以也会有一个gt displacement）其实上述加权求和的方法的alternative是之间在S中的每一行选择最大值作为1，其他都化为0，这样直接得到一一对应的结果。但是作者采用了这种soft voting而不是hard one-hot的方式，是为了可以让一行中的每一个元素都可以在计算loss的时候contribute，这样便于收敛。
- 应用：
所谓geometric or semantic correspondence问题，描述为在两张图片（两张图片含有同一个或者同一类物体或物体的部分）中建立匹配，将相似的物体或者部分连接起来。效果如下图：
可见本文的application更偏向于semantic correspondence，即将两张不同图片里的相似部分（如鸟的翅膀）相匹配（用同样颜色的点标注）。
在我们的应用里，即多目标跟踪的DA问题，是把连续两帧中同一个人匹配起来。似乎比semantic correspondence更为简单。
- 方法：
有输入的一对儿图像，经过CNN feature extraction，affinity matrix construction，再对A-matrix求的最大特征向量，再把该向量转化为最终的permutation matrix，全程E2E。包括了关键技术如Matrix BP【1】，A-matrix Factorization【2】等等。
- Affinity Matrix Layer:由CNN feature vectors计算两图间的Affinity Matrix：
- 幂迭代power iteration求M的最大特征向量v*：
- 把最大特征向量v*转化为矩阵表示，然后计算该矩阵的双随机变形（Bi-stochastic variant）：Confident matrix S。S就是一个n * m的矩阵，其中n是图一中的目标数，m是图二中的目标数。
- Soft voting，对S进行加权并softmax逐行归一化，然后用归一化之后的S逐行（m个值，代表图一某个目标与图二各个目标的association score）乘以P（图二中各个目标的真实（x，y）坐标），得到一个相当于加权平均后的图一中该目标在图二中的预测位置。然后在用这个预测位置减去P，得到预测位置与真实位置之间的displacement d：
- Loss：d与GT displacement？之间的l2距离：
