9.分布傅里叶变换（又称广义傅里叶变换）[学习笔记]

在进行傅里叶变换的时候，我们发现，因为傅里叶变换的积分需要被积函数黎曼可积，即仅当 $f$ 可积时，才能计算出对应的 ${\scr F}f$ ，然而在实际情况下会有很多函数是不可积的，比如之前提到的三角函数、矩形函数等等。因此就需要一个更普遍的傅里叶变换。

建立分布傅里叶变换的主要步骤如下（不仅适用于傅里叶变换推广到广义，也适用于其他）

1.找到一个 $\Large\textbf{测试函数}$ ，我们将其记为 $\Large {\varphi}$ ，这个函数是你认为的可以用来解决你所遇到问题的一类最优函数

2.我们引入一个定义， $\Large\textbf{分布}$ （又称广义函数），我们将其记为 $\Large {T}$ 。首先，分布可以包含一切函数；其次，分布是一个更广泛的定义，它记录定义域内所有点的位置。之前提到的三角函数、矩形函数等，都可以看作一个分布。分布 $T$ 是一个作用于测试函数 $\varphi$ 的 $\Large\textbf{线性泛函}$ ，即给定某 $T$ ， $T(\varphi)$ 将给出某个数。同时由线性可知 $T(\varphi_1+\varphi_2)=T(\varphi_1)+T(\varphi_2)$ ， $T(\alpha\varphi)=\alpha T(\varphi)$

3.连续性。如果测试函数序列收敛 $\Large{\varphi_n \to \varphi}$ ，则 $\Large{T(\varphi_n) \to T(\varphi})$ 。注意，函数序列的收敛是很难的，但是数字构成的序列收敛却很容易做

依据前面介绍的从一般情况到广义情况的步骤，我们开始讲解分布傅里叶变换：

1.在傅里叶变换中，速降函数（schwartz function）就是我们需要的最优解。

所谓速降函数，指的是这样一类函数 $\varphi(x)$
a) $\varphi(x)$ 无限可积，即 $\frac{d^n}{dx^n}\varphi(x)$ 存在
b)它的任意阶导数下降的速度都快于 $x$ 的任意次幂，即 $|x|^n\left| \frac{d^n}{dx^n}\varphi(x) \right| \to 0$ ，注意 $m$ 和 $n$ 是两个无关的变量

速降函数的性质：
a)设 ${\scr S}$ 为速降函数的集合，若 $\varphi \in {\scr S}$ ，则 ${\scr F}\varphi \in {\scr S}$ ， ${\scr F}^{-1}\varphi \in {\scr S}$
b)若 $\varphi \in {\scr S}$ ，则 ${\scr F}{\scr F}^{-1}\varphi = {\scr F}^{-1}{\scr F}\varphi = \varphi$
这两个性质说明了： $\varphi$ 的傅里叶变换、逆变换都是速降函数，都可以使积分收敛

2.我们定义 $T$ 与 $\varphi$ 的 $\Large\textbf{配对}$ 为 $\Large\left<T,\varphi \right>$ 。
在分布傅里叶变换中

$⟨ T, φ ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} T (x) φ (x) d x$ $\left<T,\varphi \right> = \int_{-\infty}^{\infty} T(x) \varphi(x)dx$

不难证明，配对是线性运算
同时，为保证配对的收敛性， $T$ 必须是缓增分布（与速降函数相对应），实际上，在现实中运用分布傅里叶的情况基本都满足配对收敛

3.该配对也满足连续性，具体证明比较麻烦，略。

接下来我们先给出分布傅里叶变换中配对的几个常见公式：

\begin{aligned} ⟨ F T, φ ⟩ & = \int_{- \infty}^{\infty} F T (y) φ (y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} (\int_{- \infty}^{\infty} e^{- 2 π i x y} T (x) d x) φ (y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} (\int_{- \infty}^{\infty} e^{- 2 π i x y} φ (y) d y) T (x) d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} F φ (x) T (x) d x \\ = ⟨ T, F φ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align*} \left<{\scr F}T,\varphi \right> &= \int_{-\infty}^{\infty} {\scr F}T(y) \varphi(y)dy\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i xy}T(x)dx \right)\varphi(y)dy\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i xy}\varphi(y)dy \right)T(x)dx\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} {\scr F}\varphi(x) T(x)dx\\ &=\left<T,{\scr F}\varphi \right> \end{align*}$

注意，在积分的过程中， ${\scr F}T(y)$ 本来不一定可以写成傅里叶积分的形式，但是我们假设它可以，从而推导出这个公式，再用这个公式来解决很多之前无法解决的问题。

同理可以证明以下常用的分布傅里叶变换中的配对公式：

$⟨ F T, φ ⟩ = ⟨ T, F φ ⟩$ $\left<{\scr F}T,\varphi \right> = \left<T,{\scr F}\varphi \right>$

$⟨ F^{- 1} T, φ ⟩ = ⟨ T, F^{- 1} φ ⟩$ $\left<{\scr F}^{-1}T,\varphi \right> = \left<T,{\scr F}^{-1}\varphi \right>$

$⟨ F F^{- 1} T, φ ⟩ = ⟨ F^{- 1} F T, φ ⟩ = ⟨ T, φ ⟩$ $\left<{\scr F}{\scr F}^{-1}T,\varphi \right> =\left<{\scr F}^{-1}{\scr F}T,\varphi \right> = \left<T,\varphi \right>$

接下来我们运用这些公式来解决几个普通傅里叶变换无法解决的傅里叶变换问题

1. $\delta$ 的傅里叶变换
$\delta$ 函数的相关定义见重侧δ函数
第1.2例计算中均需要用到的重侧δ函数性质3

\begin{aligned} F δ = ⟨ F δ, φ ⟩ = ⟨ δ, F φ ⟩ & = F φ (0) \\ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- 2 π i 0 x} φ (x) d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} 1 φ (x) d x \\ = ⟨ 1, φ ⟩ \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{align*} {\scr F}\delta =\left<{\scr F}\delta ,\varphi \right> = \left<\delta, {\scr F}\varphi \right>&= {\scr F}\varphi(0)\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi i0x} \varphi(x)dx\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} 1 \varphi(x)dx\\ &=\left<1, \varphi \right>\\ &=1 \end{align*}$

这是一个非常直观的时域频域的联系， $\delta$ 函数表示集中于一点，而分布 $1$ 表示在区间内均匀分布。充分体现了时域的压缩就等于频域的拉伸。

2. $\delta_a$ 的傅里叶变换

\begin{aligned} F δ_{a} = ⟨ F δ_{a}, φ ⟩ = ⟨ δ_{a}, F φ ⟩ & = F φ (a) \\ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- 2 π i a x} φ (x) d x \\ = ⟨ e^{- 2 π i a x}, φ ⟩ \\ = e^{- 2 π i a x} \end{aligned}

$\begin{align*} {\scr F}\delta_a =\left<{\scr F}\delta_a ,\varphi \right> = \left<\delta_a, {\scr F}\varphi \right>&= {\scr F}\varphi(a)\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi iax} \varphi(x)dx\\ &=\left< e^{-2\pi iax}, \varphi \right>\\ &=e^{-2\pi iax} \end{align*}$

3. $e^{2\pi iax}$ 的傅里叶变换
运用普通的傅里叶变换，积分不收敛，因此我们需要用分布傅里叶积分来计算，将 $e^{-2\pi iax}$ 看作分布，于是就有：

\begin{aligned} F (e^{2 π i a x}) = ⟨ F (e^{2 π i a x}), φ ⟩ & = ⟨ e^{2 π i a x}, F φ ⟩ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{2 π i a x} F φ (x) d x \end{aligned}

$\begin{align*} {\scr F}\left(e^{2\pi iax}\right) =\left<{\scr F}\left(e^{2\pi iax}\right),\varphi \right> &= \left<e^{2\pi iax},{\scr F}\varphi \right>\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{2\pi iax} {\scr F}\varphi(x)dx \end{align*}$

注意到上式相当于 $\varphi$ 的傅里叶变换的逆变换，最后得到的是 $\varphi$ 在 $a$ 点的值，即 $\varphi (a)$ ，而根据1中的计算， $\varphi (a)$ 又等于 $\left<\delta,\varphi \right>$ ，因此

F (e^{2 π i a x}) = φ (a) = ⟨ δ_{a}, φ ⟩ = δ_{a}

${\scr F}\left(e^{2\pi iax}\right)=\varphi (a)= \left<\delta_a,\varphi \right> = \delta_a$

我们将第2.3.两个例子结合在一起，可以得到

F (F (e^{2 π i a x})) = e^{- 2 π i a x}

${\scr F} \left( {\scr F} \left(e^{2\pi iax}\right) \right)=e^{-2\pi iax}$

这验证了我们在之前文章中提到的

F F f = f^{-}

${\scr F}{\scr F} f = f^-$

也从侧面证明了分布傅里叶变换与普通傅里叶变换的统一性

4. $\sin 2\pi ax$ 与 $\cos 2\pi ax$ 的傅里叶变换
首先，将函数用欧拉公式的变形（之前的文章中(2)(3)式）写出，有

\sin 2 π a x = \frac{1}{2 i} (e^{2 π i a x} - e^{- 2 π i a x})

$\sin 2\pi ax = \frac{1}{2i} \left( e^{2\pi iax} - e^{-2\pi iax} \right)$

\cos 2 π a x = \frac{1}{2} (e^{2 π i a x} + e^{- 2 π i a x})

$\cos 2\pi ax = \frac{1}{2} \left( e^{2\pi iax} + e^{-2\pi iax} \right)$

然后利用例3，可以直接得出：

F (\sin 2 π a x) = \frac{1}{2 i} (δ_{a} - δ_{- a})

${\scr F(}\sin 2\pi ax) = \frac{1}{2i} \left( \delta_a - \delta_{-a} \right)$

F (\cos 2 π a x) = \frac{1}{2} (δ_{a} + δ_{- a})

${\scr F(}\cos 2\pi ax) = \frac{1}{2} \left( \delta_a + \delta_{-a} \right)$