【数论】【容斥】[JZOJ4392] 幂

Description

这里写图片描述

Solution

定义i的指数为 $c_i$ ，满足 $i^{c_i}\leq A$ 且 $i^{c_i+1}>A$

如果对于一个 $i$ ，存在一个数 $j$ ，使得 $j^p=i,p\leq c_i,p\in N^+$ ，那么我们可以将它们合在一起做，因为只有这样它们的幂才有公共部分

容易发现 $c_i$ 在 $10^9$ 以内最多为29，并且当 $i>\sqrt n$ 时 $c_i$ 都是1
那么我们将大于 $\sqrt n$ 的部分去掉被合在一起做的数以后，剩下都是互不干扰的，可以直接乘以B

$i=1$ 直接最后再加上
现在的问题变成已知 $i$ , $q\in[1,c_i],Y\in[1,B]$ ，求 $(i^q)^Y$ 有多少种不同的取值
取以i为底的对数，那就是求 $q\in[1,c_i],Y\in[1,B]，q\times Y$ 有多少种不同的取值，并且这个问题与具体的i无关，只与c有关

考虑将原来问题分成若干段处理，第k段为 $[(k-1)\times B+1,k\times B]$ ，我们想知道这段中有多少数是 $[k,c_i]$ 中某个数的倍数，这样有效排除了干扰

这个问题可以容斥解决，但是 $[k,c_i]$ 数最多有29个，直接容斥时间会有问题，然而发现如果之中一个数是另一个数的倍数，那这个大的数显然没用，这样只有15个左右，可以通过本题。

注意由于这里面的数不一定互质，因此容斥要取最小公倍数而不是直接相乘。

Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define LL long long
#define N 40005
using namespace std;
LL n,m,cnt,f[31],g[31],sp,pr[11]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29},gd[31][31];
bool bz[N];
int cn[31],mu[31],d[31];
LL gcd(LL x,LL y)
{
    return(y)?gcd(y,x%y):x;
}
void dfs(int l,LL s,LL v,LL x,LL y)
{
    if(s>y) return;
    sp+=v*(y/s-(x-1)/s);
    fo(k,l,d[0]) dfs(k+1,s*(LL)d[k]/gcd(s,d[k]),-v,x,y);
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    mu[1]=1;
    LL n1=sqrt(n),ans=1,cnt=n-n1;
    f[1]=m;
    fo(c,2,30)
    {
        f[c]=m;
        fo(i,2,c) 
        {
            d[0]=0;
            fo(j,i,c)
            {
                bool pd=1;
                fo(k,i,j-1) if(j%k==0) {pd=0;break;} 
                if(pd) d[++d[0]]=j;
            }
            sp=0;
            fo(j,1,d[0]) dfs(j+1,d[j],1,(LL)(i-1)*m+1,(LL)i*m);
            f[c]+=sp;
        }
    }
    fo(i,2,n1)
    {
        if(!bz[i])
        {
            LL v=i;
            LL c=0;
            while(v<=n) 
            {
                c++;
                if(v<=n1) bz[v]=1;
                else cnt--;
                v=v*(LL)i;
            }
            ans+=f[c];
        }
    }
    ans+=cnt*m;
    printf("%lld\n",ans);
}