「学习笔记」中国剩余定理及扩展

中国剩余定理总是不太熟练，写一篇 $Blog$ 复习一下好了。

中国剩余定理

有 $n$ 个线性同余方程: $x \equiv a_i \;(mod\; m_i)$ ， $m_i$ 都互质，求解这个线性同余方程组

使用中国剩余定理（ $Chinese\; remainder\; theorem$ ， $crt$ ）来解决，它是一种构造方法，本质思想是每项只对自己有贡献.

令 $M=\prod_{i=1}^{n} m_i$ ，答案为：

x = (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \times M_{i} \times N_{i}) m o d M

$x = (\sum_{i=1}^{n} a_i \times M_i \times N_i) \; mod\; M$

其中 $M_i$ 表示 $\frac{M}{m_i}$ ， $N_i$ 表示 $M_i$ 在 $mod \; m_i$ 意义下的逆元.

大概写起来是这样的，比较简单

int Crt(int n, int * m, int * a) {
    int ans = 0, M = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) M *= m[i];
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        int Mi = M / m[i];
        int Ni = inv(Mi, m[i]); 
        (ans += Mi * Ni % M * a[i] % M) %= M;
    }
    return (ans + M) % M;
}

扩展中国剩余定理

有 $n$ 个线性同余方程: $x \equiv a_i \;(mod\; m_i)$ ，不保证 $m_i$ 都互质，求解这个线性同余方程组

使用扩展中国剩余定理（ $Extended\;Chinese\; Remainder\; Theorem$ ， $crt$ ）解决， $Scαpe$ 鸽鸽称其为增量法.

考虑每次如何把两个线性同余方程合并。
假设有两个方程， $x \equiv a\;(mod\;b)$ ， $x \equiv c\;(mod\;d)$

由于第一个式子得： $x=bt+a$ .
于是得到： $bt+a \equiv c\;(mod\;d)$
$bt\equiv c-a\;(mod\;d)$
然后这是经典的同余方程，直接使用 $exgcd$ 求解.

解出： $t \equiv t_0\;(mod \;\frac{d}{gcd(b, d)})$
于是得到 $x=bt+a\;(mod \; \frac{d}{gcd(b,d)})$

于是每次我们两两合并，合并 $n-1$ 次，就完事了.

LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &g) {
    if(!b) x = 1, y = 0, g = a;
    else exgcd(b, a % b, y, x, g), y -= x * (a / b);
}

LL excrt(int n, LL * m, LL * a) { //x = a[i] (mod m[i])
    LL c = a[1], d = m[1], p, q, g;
    for(int i = 2; i <= n; i ++) {
        exgcd(d, m[i], p, q, g);
        LL tmp = a[i] - c;
        if(tmp % g != 0) return ; //No result
        p *= tmp / g;
        p = (p % (m[i] / g) + (m[i] / g)) % (m[i] / g);
        c += p * d;
        d = d / g * m[i];
        c %= d;
    }
    return (c % d + d) % d;
}