一、函数依赖：
在关系R中，若属性或者属性集 A 中 两个元祖的值相等，如果这两个元祖中对应的属性或者属性集B中的值也相同，则记作A——>B。 A函数决定B； 或者 B函数依赖于A。
例1：下表就是问题领域, 则存在的函数依赖有哪些呢?
属性A的值都不相等，所以A--->B； 而属性B中前两行元祖相同，对应的属性C的前两组元祖也相同，所以B----->C;
而属性C的三行元祖是全部相同的，对应的属性A和属性B，没有三行元祖的值是全部一样的，所以C函数不决定任何.
属性A的元祖的值相同的时候，对应的属性C元祖的值也都相同，所以A--->C；
而属性B元祖的值相同的时候，没有全部一样的属性对应的元祖的值也一样。（b2的值虽然和d2的值对应，但是值为b3的两个元祖对应的是d3、d4,值不是相同的，故：B不能决定D；
而属性C中，前两行的元祖的值相同，对应的A属性中的前两行元祖的值也相等，但是属性C后三行的值c2是都一样的，在A、B、D属性中,后三行的值没有完全一样的，故：C也不能决定其他。
属性D中第2、3行中的值相等，对应的属性B中，第2、3行的元祖的值也是相等的，所以：D----->B;
对X——>Y，若Y⊄X，则称X→Y为非平凡的函数依赖； 如：(职工号,姓名)→性别，职工号——>姓名；
平凡函数依赖：(职工号,姓名)→姓名； (职工号,性别)——>性别；
1、完全函数依赖：
设X,Y是关系R的两个属性集合，X’是X的真子集，存在X→Y，但对每一个X’都有X’!→Y，则称Y完全函数依赖于X。
比如：（学号,课号）——>成绩; 单独一个学号，不能决定成绩，单独一个课程，也不能决定成绩；只有二者同时，才能决定；
2、部分函数依赖：
设X,Y是关系R的两个属性集合，存在X→Y，若X’是X的真子集，存在X’→Y，则称Y部分函数依赖于X。
（学号,课号）——>姓名；学号和课号能决定姓名, 单独一个 学号 也能决定 姓名；
3、传递函数依赖：
设X,Y,Z是关系R中互不相同的属性集合，存在X→Y(Y !→X),Y→Z，则称Z传递函数依赖于X。
学号——>系号，系号——>系主任; 系主任 传递依赖于 学号；
二、候选键：
(1)可任选一候选键作为R的主键(Primary Key)； 即：当候选码多于一个时，选定其中一个作为主码
(2)包含在任一候选键中的属性称主属性(Prime Attribute),其他属性称非主属性；
(3)若K是R的一个候选键，SK, 则称S为R的一个超键(Super Key)。
(4)若k是候选键(码）,则必须满足两个条件，k的闭包是U，k没有冗余。
2、候选码的确定(算法)
设关系模式R中U=ABC.......等N个属性，U中的属性在FD中有四种范围：
(1)左右出现;
(2)只在左部出现;
(3)只在右部出现;
(4)不在左右出现;
算法：按以下步骤求候选键：
1.只在FD右部出现的属性，不属于候选码;
2.只在FD左部出现的属性，一定存在于某候选码当中;
3.外部属性一定存在于任何候选码当中; (左右都不出现)
4.其他属性逐个与2,3的属性组合，求属性闭包，直至X的闭包等于U,若等于U,则X为候选码。
3、候选码以及属性相关的案例;
U={学号，姓名，年龄，班号，班长，课号，成绩 }
候选键：学号，课号；
主属性：学号，课号；（主要的属性，能决定其他属性的), 即：学号，课号称为U的主属性；
非主属性：U中剩余的属性，即：姓名，年龄，班号，班长，成绩；
例1：R<U,F>,U=(A,B,C,D,E,G),F={AB-->C,CD-->E,E-->A.A-->G},求候选码以及主属性。
因为：G只在右边出现，所以候选码肯定不包含G，AB只出现在左边，所以，候选码中肯定有BD，而BD的闭包还是BD，则对BD进行组合,除了G以外,BD可以跟A,C,E进行组合。
先看ABD
ABD本身自包ABD,而AB-->C,CD-->E,A-->G,所以ABD的闭包为ABDCEG=U
再看BDC
CD-->E,E-->A,A-->G,BDC本身自包,所以BDC的闭包为BDCEAG=U
最后看BDE
E-->A,A-->G,AB-->C,BDE本身自包,所以BDE的闭包为BDEAGC=U
因为(ABD)、(BCD)、(BDE)的闭包都是ABCDEG所以本问题的候选码有3个分别是ABC、BCD和BDE
候选码：ABC，BCD，BDE；
主属性：ABCDE;
非主属性：G；
例2：R<U,F>,U=(A,B,C),F={AB-->C,C-->B},求候选码。
因为：A只出现在左边，所以候选码中肯定存在A，然而A的闭包还是A，所以需要对A进行组合，可以和B,C进行组合。
先看AB
AB本身自包AB,而AB-->C,所以AB的闭包为ABC=U；
再看AC
C-->B,而AC本身自包AC,所以AC的闭包为ABC=U；
候选码：AB，AC
主属性：ABC; 非主属性：无； 此时又称为 全码。（所有属性构成码）。
三、Armstrong公理系统：
设关系模式R<U,F>，其中U为属性集，F是U上的一组函数依赖，那么有如下推理规则四、闭包：
闭包就是由一个属性直接或间接推导出的所有属性的集合。
例如：f={a->b，b->c，a->d，e->f}；由a可直接得到b和d，间接得到c，则a的闭包就是{a，b，c，d}；
已知关系R(A1，A2，A3，A4，A5，A6)，函数依赖集F为{ (A2，A3)——>A4，A3——>A6，(A2，A5)——>A1 }， 问(A2，A3)关于F的属性闭包为：{A2，A3,A4,A6}； 因为：A2，A3能带到A4，A3能得到A6；
已知关系R(A，B，C，D，E，F，G)，函数依赖集F为{ A ——>B，B——>D，AD——>EF，AG——>C}， 问：A关于F的属性闭包为:{A,B,D,E,F}； 因为：A能得到B，B能得到D，AD能得到EF;
五、最小函数依赖集（最小覆盖）：
1、定义：
如果函数依赖集F满足以下条件，则称F为一个极小函数依赖集。也称为最小依赖集或最小覆盖。
(1)F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性。
(2)F中不存在这样的函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价。
(3)F中不存在这样的函数依赖X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}U{Z→A}与F等价。
2、最小依赖集通用算法：
① 用分解的法则，使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；
② 去掉多余的函数依赖：从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉，然后在剩下的函数依赖中求X的闭包X+，看X+是否包含Y，若是，则去掉X→Y；否则不能去掉，依次做下去。直到找不到冗余的函数依赖；
③ 去掉各依赖左部多余的属性。一个一个地检查函数依赖左部非单个属性的依赖。例如XY→A，若要判Y为多余的，则以X→A代替XY→A是否等价？若A属于(X)+，则Y是多余属性，可以去掉。（以上步骤中，求出关系依赖集F,此时，再F的基础上，求出X或者Y的闭包，是否包含A）
3、最小依赖集案例：
例1：关系模式R(U，F)中，U=ABCDEG，F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B,ADG->BC}；求F的最小函数依赖集
步骤：
（1）用分解的法则，使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；得到：F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B,ADG->B，ADG->C}；
（2）去掉多余的函数依赖：从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉，然后在剩下的函数依赖中求X的闭包X+，依次做下去。直到找不到冗余的函数依赖；
① 去掉B->D，此时F={DG->C,BD->E,AG->B,ADG->B，ADG->C}，此条件下得出B的闭包 B+ = B；B+不包含D，所以B->D保留。
②去掉DG->C，此时F={B->D,BD->E,AG->B,ADG->B，ADG->C}，此时DG闭包DG+ = DG，不包含C,所以不能去掉DG->C.
③ 去掉BD->E，此时F={B->D，DG->C,AG->B,ADG->B，ADG->C}，此时闭包BD+ = BD,不包含E，所以不能去掉BD->E，继续保留。
④去掉AG->B，此时F={B->D，DG->C,BD->E,ADG->B，ADG->C}；此时AG+ = AG，不包含B，所以不能去掉AG->B，继续保留。
⑤去掉ADG->B，此时F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B,ADG->C}，此时ADG+ = ADGCBE,包含了B，所以删除ADG->B，不保留。
⑥去掉ADG->C，此时F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B}，此时ADG+ = ADGCBD,包含了C，所以删除ADG->C，不保留。
综上所得，此时得到F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B}；
（3）去掉各依赖左部多余的属性。一个一个地检查函数依赖左部非单个属性的依赖。
此时函数依赖左边非单个属性有：DG->C,BD->E,AG->B；所以做如下操作：
①先来看DG->C，首先去掉D，则此时G的闭包G+ = G，不包含C，保留D。再次去掉G，此时D+ = D，不包含C，所以G也不能去掉；
②再来看BD->E，首先去掉B，得到此时D的闭包D+ = D，不含E，保留B。然后去掉D，此时B+ = BDE，包含了E，所以去掉D，即得出：B->E;
③最后再来看AG->B，去掉A，G+ = G，不包含B，不能去掉A。去掉G的时候，A的闭包A+ =A，不含B，不能去掉A，还是AG->B ；
所以最后得出：F的最小函数依赖集是：F={B->D，DG->C,B->E,AG->B}；
例2：已知关系R(A，B，C，D，E，F，G)，函数依赖集F为{ AD à EF，CDàFB，FàG，DàF，AàD }，问：F的最小覆盖为；
步骤：
（1）：将函数依赖右边变成一个属性：得到F={ AD à E， AD à F，CDàF，CDàB，FàG，DàF，AàD}；
（2）：去掉多余的函数依赖：
① 去掉AD à E，F={ AD à F，CDàF，CDàB，FàG，DàF，AàD}；AD+ = ADFG,不包含E，保留AD à E。
②去掉AD à F，F={ AD à E，CDàF，CDàB，FàG，DàF，AàD}；AD+ = ADEFG, 包含了F，所以去掉AD à F。
③ 去掉CDàF，F={ AD à E，CDàB，FàG，DàF，AàD}； CD+ = CDBFG ，包含F，所以去掉CDàF。
④去掉CDàB，F={ AD à E，FàG，DàF，AàD}；CD+ = CDFG，不包含B，所以保留CDàB。
⑤去掉FàG，F={ AD à E，CDàB，DàF，AàD}；F+ = F,不包含G，所以保留FàG；
⑥去掉DàF，F={ AD à E，CDàB，FàG，AàD}；D+ = D，不含包F，所以保留DàF，
⑦去掉AàD，F={ AD à E，CDàB，FàG，DàF}；A+ = A，不包含D，所以保留AàD；
综上运算，此时得到F={ AD à E，CDàB，FàG，DàF，AàD}；
（3）：去掉各依赖左部多余的属性。即：AD à E，CDàB中查看检测；
①先来看AD à E，去掉A，D+ = DFG，不包含E，所以A不能去掉. 去掉D，A+ = ADEFG,包含了E；所以需要去掉D，此时得出：A à E；
③最后看CDàB，去掉C，D+ = DFG,不含F，保留C。去掉D，C+ = C,不包含B，不能去掉D，继续保留。所以依旧是：CDàB；
综上，得数F={A à E，CDàB，FàG，DàF，AàD}；
所以最后得出F={A à E，CDàB，FàG，DàF，AàD}；
六、三范式和BCNF范式：
（1）：1NF：每个分量都是不可再分的数据项（值、原子）。即：属性中，不能存在复合属性 或者 多值属性。
（2）：2NF：每一个非主属性 完全函数依赖 于 候选键（码）。注意：这里是码（不是主属性）；即：不能存在 非主属性部分函数依赖于码。
（3）：3NF：每一个非主属性 都不传递依赖于 码。 即：不能存在非主属性对于码的传递函数依赖。
（4）：BCNF：不存在 主属性 对于 码 的 部分函数依赖 与 传递函数依赖。判断方法：箭头左边的必须是候选码（不能只是一个属性，部分码）。
七、模式分解：
当模式不符合关系范式时，需要进行模式分解。1、模式分解的特性：
（1）：数据内容的等价性。 即：分解后的数据内容 与 原始数据内容 相比 不能多，也不能少。 分解的无损连接性；
（2）：数据约束的等价性。 即：分解后的数据约束（依赖关系）等不能丢失。 分解的保持依赖性；
2、无损连接分解的检测方法（判断一个分解是否无损连接）：
方法一：算法：
（1）案例：
方法二：无损连接定理：
案例（1）：关系模式R（SAIP），F={S—>A,SI—>P}; ρ={R1(SA),R2(SIP)}检测分解是否为无损连接？
因为：R1∩R2 = S ；R1—R2 = A； R2—R1 = IP；所以得出：S —>A；或者S —>IP； 而 S —>A 在F={S—>A,SI—>P}中，所以此分解是无损连接。
举例（2）：已知R<U,F>，U={A,B,C}，F={A→B}，如下的两个分解：
① ρ1={AB,BC}；
② ρ2={AB,AC}；
因为：AB∩BC = B；AB—BC = A；BC—AB = C；得出；B→A，或者 B→A，两个都不包含在F={A→B}中，所以 ρ1 分解是有损的。
因为：AB∩AC = A；AB—AC = B；AC—AB = C；得出：A→B，或者A→C，而A→B包含在F={A→B}中，所以 ρ2 分解是无损的。
3、保持依赖分解的检测方法（判断一个分解是否保持依赖）：
算法：
如果上述判断失败，并不能断言分解不是保持依赖的，还要使用下面的通用方法来做进一步判断。
该方法的表述如下：
算法二：
对F上的每一个α→β使用下面的过程：
result:=α;
while(result发生变化)do
for each 分解后的Ri //将每个分解后的结构Ri逐个带入
t=(result∩Ri)+ ∩Ri //这里的意思是取result与Ri的交集的闭包值，之后再与Ri取交集
result=result∪t
这里的属性闭包是在函数依赖集F下计算出来的。如果result中包含了β的所有属性，则函数依赖α→β。分解是保持依赖的当且仅当上述过程中F的所有依赖都被保持。
案例（1）：关系模式R<U, F>，U=｛A, B, C, D, E｝，F＝{B→A，D→A，A→E，AC→B｝则分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）｝是否满足保持函数依赖。
因为：B→A，A→E，AC→B在R1上成立，D→A在R1和R2上都不成立，因此需做进一步判断。
由于B→A，A→E，AC→B都是被保持的（因为它们的元素都在R1中），因此我们要进一步判断的是D→A是不是也被保持。
①先看R1：因为：result = D；result ∩R1 = ф (空集)；所以：t=ф，result=D；
②再看R2：因为：result = D；result ∩R2 = D；D+ = DA; D+ ∩ R2 = D; 所以：t=D，result=D；
一个循环后result未发生变化，因此最后result=D，并未包含A，所以D→A未被保持，该分解不是保持依赖的。
案例（2）：关系R<U,F>，U={A,B,C,D,E}，F={A→C,B→C,C→D,DE→C,CE→A}，R的一个分解为R1(AD)，R2(AB)，R3(BE)，R4(CDE)，R5(AE)，判断这个分解是否具有函数依赖性。
因为：,C→D,DE→C均在R4(CDE)中被保持，而A→C,B→C，CE→A，在R1....R5上都不成立，需要进一步判断。
（1）A→C；
①先看R1：因为：result = A；result ∩R1 = A ； A+ = ACD ； A+ ∩ R1 = AD；所以：t=AD，result=AD； 此时，result改变，则，进入R2；
②再看R2：因为：result = AD；result ∩R2 = ф，最后还是result = AD；
③再看R3：因为：result = AD；result ∩R3 = ф，最后还是result = AD；
④再看R4：因为：result = AD；result ∩R4 = D，D+ = D; D+ ∩ R4= D；最后还是result = AD；
⑤再看R5：因为：result = AD；result ∩R5 = A，最后还是result = AD；
最后result = AD 并未包含C；所以，所以D→A未被保持，该分解不是保持依赖的；
综合案例：设有关系模式R<U，F>，U={A，B，C，D，E}，F={A→D，E→D，D→B，BC→D，CD→AB}，设有一个分解P={R1(ED)，R2(BCD)，R3(ACD)}判断该分解是否保持函数依赖，并判断此分解是否具有无损连接性。
①判断是保持函数依赖的；F的最小函数依赖为：F={A→D，E→D，D→B，BC→D，CD→A}；三个分解的模式中满足依赖的传递。
②判断是有损的模式分解； （没有一行全为a的）；
4、关系模式保持依赖地分解成3NF：
分解规则：将每一个函数依赖单独组成一个关系；
案例（1）：关系R<U,F>，U={A, B, C, D, E, F, G}，F={A→B，A→C，C→D，C→E，E→FG}，将R分解成3NF。（有非主属性传递依赖于码，不属于3NF目前）；
①：U中所有元素均存在F中，进一步判断； F中并不存在依赖函数X→A，且XA = R；
②：将每一个函数依赖组成一个关系；即：ρ = {R1(A,B),R2(A,C),R3(C,D),R4(C,E),R5(E,F,G)}；
③：合并关系（跟进F左边相同）：即：ρ = {R1(A，B，C),R2(C,D，E),R3(E,F,G)}；
案例（2）：关系模式R<U,F>，其中U={C,T,H,R,S,G}，F={CS→G,C→T,TH→R,HR→C,HS→R}，将其分解成3NF并保持函数依赖。
因为：最小依赖集为：F={CS→G,C→T,TH→R,HR→C,HS→R}； 而U中所有元素 均在 F中有出现；
所以：可将每一个函数依赖单独组成一个关系；即：ρ = {R1(CSG)，R2(CT)，R3(THR)，R4(HRC)，R5(HSR)}；
5、关系模式无损连接地分解成BCNF：
分解规则：将左侧不含候选键的函数依赖单独组成一个关系, 将包含候选键的组成一关系；
案例（1）：关系R<U,F>，U={A, B, C, D, E, F, G}，F={A→B，A→C，C→D，C→E，E→FG}，将R分解成BCNF；（目前，有 不依赖于 候选键的其他函数依赖，不满足BCNF）；
①找出候选码：A；
②将左侧不含候选码的组成一个关系，包含候选码的组成一个关系：ρ = {R1(C,D),R2(C,E),R3(E,F,G),R4(A,B,C)}；
③合并关系：即：ρ = {R12(C,D,E),R3(E,F,G),R4(A,B,C)}；
案例（2）：关系模式R<U,F>，其中U={C,T,H,R,S,G}，F={CS→G,C→T,TH→R,HR→C,HS→R}，将其分解成BCNF并保持无损连接。
①找出候选码：HS；
②将左侧不含候选码的组成一个关系，包含候选码的组成一个关系：ρ = {R1(C，T)，R2(S，G，C，R，G)}；（即：R2中不能含T）；
计算此时R1和R2的最小函数依赖集分别为：F1={C→T}，F2={CS→G,CH→R,HR→C,HS→R}（因为R2中不能含有T，根据C→T,TH→R，可以转化成CH→R）；
又因为：R1(C，T)、F1={C→T}（已满足BCNF）；
R2(S，G，C，R，G)、F2={CS→G,CH→R,HR→C,HS→R}；此时R2的码为：HS；而F中箭头左侧有不是如CS、CH、HR不是码，故不满足BCNF，需要进一步分解；
分解R2： R2(S，G，C，R，G)、F2={CS→G,CH→R,HR→C,HS→R}；得：R21(CSG)，R22(CHR)，R23(HSR)；（左侧不含候选码的组成一个关系）； 此时：R21、R22、R23均已满足BCNF；
③最终分解后得出：ρ = {R1(C,T),R21(CSG)，R22(CHR)，R23(HSR)}；
案例（3）：关系模式R<U,F>，其中：U={A,B,C,D,E}，F={A→C,C→D,B→C,DE→C,CE→A}，将其分解成BCNF并保持无损连接。
①找出候选码：BE；
②因为目前左侧都不包含码。不能组成一个包含码的关系。
考虑A→C函数依赖不满足BCNF条件（因A不包含候选键BE），将其分解成R1(AC)、R2(ABDE)。 （R2中不能包含C）；
计算此时R1和R2的最小函数依赖集分别为：F1 = {A→C}；F2 = {B→D，BE→A}；（因为C→D,B→C,DE→C,CE→A，R2中不能包含C，而C→D,B→C，可以转化成：B→D；DE→C 可以转化成 DE→D，CE→A 可以转化成BE→A）；又由于DE→D是蕴含关系，可以去掉；
③分解R2：R2上的候选关键字为BE。考虑B→D函数依赖不满足BCNF条件，将其分解成R21(BD)、R22(ABE)。计算R21和R22的最小函数依赖集分别为：F21={B→D}，F22={BE→A}。
由于R22上的候选关键字为BE，而F22中的所有函数依赖满足BCNF条件。故R可以分解为无损连接性的BCNF如：ρ={R1(AC),R21(BD),R22(ABE)}。
6、关系模式分解既保持依赖又无损连接：
分解规则：将R的一个保持依赖的分解，再并上候选码； 即：（原模式）候选码 U 保持依赖的3NF分解；
案例（1）：关系模式R<U,F>，其中：U={C,T,H,R,S,G}，F={CS→G,C→T,TH→R,HR→C,HS→R}，分解成3NF并保持无损连接和函数依赖。
①找出候选码： HS；
②模式分解成保持依赖的3NF为：ρ={R1(GSC),R2(CT),R3(THR),R4(HRC),R5(HSR)};
③将原候选码，作为一个关系，加入ρ中，即：τ={CT，CSG，CHR，HSR，HRT，HS}；
而由于：HS是模式HSR的一个子集，所以消去HS后的分解{CT，CSG，CHR，HSR，HRT}就是具有无损联接性和保持函数依赖性的分解，且其中每一个模式均为3NF。
案例（2）：已知:关系模式R(U,F) U=ABCD F={A→C,C→A,B→AC,D→AC}，将模式R无损失连接且保持函数依赖分解为3NF。
①找出候选码： BD；
②求出关系F的最小依赖集：F={A→C,C→A,B→C,D→C}；
③模式分解成保持依赖的3NF为：ρ={R1(AC),R2(BC),R3(CD)};
④将模式R无损失连接且保持函数依赖分解为3NF：ρ={R1(AC),R2(BC),R3(CD)，R4（BD）};