排队论模型

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排队论模型

1. 模型背景

排队论发源于上世纪初。当时美国贝尔电话公司发明了自动电话，以适应日益繁忙的工商业电话通讯需要。这个新发明带来了一个新问题，即通话线路与电话用户呼叫的数量关系应如何妥善解决，这个问题久久未能解决。1909 年，丹麦的哥本哈根电话公司 A.K. 埃尔浪( ( Erlang) ) 在热力学统计平衡概念的启发下解决了这个问题。

2. 模型介绍

1. 由于顾客到达和服务时间的随机性，现实中的排队现象几乎不可避免；
2. 排队过程，通常是一个随机过程，排队论又称 “ 随机服务系统理论 ”

3. 排队 系统的 要素

1. 顾客输入过程；
2. 排队结构与排队规则；
3. 服务机构与服务规则；

4. 顾客 输入过程

1. 顾客源( ( 总体) ) ：有限/ / 无限;
2. 顾客到达方式：逐个/ / 逐批 ;( 仅研究逐个情形) )
3. 顾客到达间隔：随机型/ / 确定型;
4. 顾客前后到达是否独立：相互独立/ / 相互关联；
5. 输入过程是否平稳：平稳/ / 非平稳；( ( 仅研究平稳性) )
   

5. 排队 结构与排队规则

1. 顾客排队方式：等待制/ / 即时制( ( 损失制 );
2. 排队系统容量：有限制/ / 无限制 ;
3. 排队队列数目 : 单列/ / 多列;
4. 是否中途退出 : 允许/ / 禁止;
5. 是否列间转移 : 允许/ / 禁止;
   ( ( 仅研究禁止退出和转移的情形) )

6. 服务 机构与服务规则

1. 服务台( ( 员) ) 数目; ; 单个/ / 多个;
2. 服务台( ( 员) ) 排列形式; 并列/ / 串列/ / 混合;
3. 服务台( ( 员) ) 服务方式; 逐个/ / 逐批 ;( 研究逐个情形) )
4. 服务时间分布; 随机型/ / 确定型;
5. 服务时间分布是否平稳: 平稳/ / 非平稳 ;( 研究平稳情形) )

7. 服务台( ( 员) ) 为顾客服务的顺序:

1. 先到先服务( ( FCFS);
2. 后到先服务( ( LCFS);
3. 随机服务;
4. 优先服务;

8. 到达间隔和服务时间典型分布

1. 泊松分布 M ；
2. 负指数分布 M ；
3. k k 阶爱尔朗分布 E E k k ；
4. 确定型分布 D D ；
5. 一般服务时间分布 G G ；

9. 排队模型示例

—— M/M/1 ， M/D/1 ， M/ Ek /1 ；
—— M/M/c， M/M/c/∞ /m ，
—— M/M/c/N/∞

对于M ／M ／1 模型有如下公式

µ: 单位时间服务的顾客数，平均( 期望) 服务率；
λ: 单位时间前来的顾客数。
Ls ：队长 ，系统中的顾客数（n）期望值
Lq：排队长 ，系统中排队等待服务的顾客数; 期望值记为Lq
Ws：逗留时间:—— 指一个顾客在系统中的全部停留时间 为 期望值，记为 Ws
Wq: 等待时间: —— 指一个顾客在系统中的排队等待时间为 期望值，记为 Wq

Ws=Wq + E[ 服务时间]
s : 服务台数目

服务强度：ρ = λ/sµ

M/M/1 模型

某医院急诊室同时只能诊治一个病人，诊治时间服从指数分布，每个病人平均需要 15 分钟。病人按泊松分布到达，平均每小时到达3 3 人。试对此排队队系统进行分析。
解： 对此排队队系统分析如下：

程序:

% =================================================================需要改的地方
s=1;    %服务台个数
mu=4;   %单个服务台单个时间内能服务的个数
lambda=3;   %单位时间到达的顾客数
% =================================================================需要改的地方

ro=lambda/mu;
ros=ro/s;
sum1=0;

for i=0:(s-1)
    sum1=sum1+ro.^i/factorial(i);
end

sum2=ro.^s/factorial(s)/(1-ros);

p0=1/(sum1+sum2);
p=ro.^s.*p0/factorial(s)/(1-ros);
Lq=p.*ros/(1-ros);
L=Lq+ro;
W=L/lambda;
Wq=Lq/lambda;
fprintf('排队等待的平均人数为%5.2f人\n',Lq)
fprintf('系统内的平均人数为%5.2f人\n',L)
fprintf('平均逗留时间为%5.2f分钟\n',W*60)
fprintf('平均等待时间为%5.2f分种\n',Wq*60)

结果:

排队等待的平均人数为 2.25人
系统内的平均人数为 3.00人
平均逗留时间为60.00分钟
平均等待时间为45.00分种

M/M/S 模型

此模型与 M/M/1 模型不同之处在于有S 个服务台 ，各服务台的工作相互独立 ， 服务率相等 ， 如果顾客到达时 ，S 个服务台都忙着 ， 则排成一队等待 ， 先到先服务的单队模型.
对于例一增加一个服务台就有如下结果：

排队等待的平均人数为 0.12人
系统内的平均人数为 0.87人
平均逗留时间为17.45分钟
平均等待时间为 2.45分种

很明显各个结果都有很大的优化。

例三

某医院挂号室有三个窗口，就诊者的到达服从泊松分布，平均到达率为每分钟 0.9 人，挂号员服务时间服从指数分布，平均服务率每分钟 0.4 人，现假设就诊者到达后排成一队，依次向空闲的窗口挂号，显然系统的容量和顾客源是不限的，属于 M/M/S 型的排队服务模型。求：该系统的运行指标

结果:

排队等待的平均人数为 1.70人
系统内的平均人数为 3.95人
平均逗留时间为 4.39分钟
平均等待时间为 1.89分种

使用图像来分析：

代码:

clear 
clc 
%***************************************** 
%初始化顾客源 
%***************************************** 

% =================================================================需要改的变量
%总仿真时间 
Total_time = 10; 
%队列最大长度 
N = 10000000000; 
%到达率与服务率 
lambda = 10; 
mu = 6; 
% =================================================================需要改的变量

%平均到达时间与平均服务时间 
arr_mean = 1/lambda; 
ser_mean = 1/mu; 
arr_num = round(Total_time*lambda*2); 
events = []; 
%按负指数分布产生各顾客达到时间间隔 
events(1,:) = exprnd(arr_mean,1,arr_num); 
%各顾客的到达时刻等于时间间隔的累积和 
events(1,:) = cumsum(events(1,:)); 
%按负指数分布产生各顾客服务时间 
events(2,:) = exprnd(ser_mean,1,arr_num); 
%计算仿真顾客个数，即到达时刻在仿真时间内的顾客数 
len_sim = sum(events(1,:)<= Total_time); 
%***************************************** 
%计算第 1个顾客的信息 
%***************************************** 
%第 1个顾客进入系统后直接接受服务，无需等待 
events(3,1) = 0; 
%其离开时刻等于其到达时刻与服务时间之和 
events(4,1) = events(1,1)+events(2,1); 
%其肯定被系统接纳，此时系统内共有 
%1个顾客，故标志位置1 
events(5,1) = 1; 
%其进入系统后，系统内已有成员序号为 1 
member = [1]; 
for i = 2:arr_num 
%如果第 i个顾客的到达时间超过了仿真时间，则跳出循环 

if events(1,i)>Total_time 

break; 

else 
number = sum(events(4,member) > events(1,i)); 
%如果系统已满，则系统拒绝第 i个顾客，其标志位置 0 
if number >= N+1 
events(5,i) = 0; 
%如果系统为空，则第 i个顾客直接接受服务 
else 
if number == 0 
%其等待时间为 0

2009.1516

%PROGRAMLANGUAGEPROGRAMLANGUAGE
events(3,i) = 0; 
%其离开时刻等于到达时刻与服务时间之和 
events(4,i) = events(1,i)+events(2,i); 
%其标志位置 1 
events(5,i) = 1; 
member = [member,i]; 
%如果系统有顾客正在接受服务，且系统等待队列未满，则 第 i个顾客进入系统 

else len_mem = length(member); 
%其等待时间等于队列中前一个顾客的离开时刻减去其到 达时刻 
events(3,i)=events(4,member(len_mem))-events(1,i); 
%其离开时刻等于队列中前一个顾客的离开时刻加上其服 
%务时间 
events(4,i)=events(4,member(len_mem))+events(2,i); 
%标识位表示其进入系统后，系统内共有的顾客数 
events(5,i) = number+1; 
member = [member,i]; 
end 
end 

end 
end 
%仿真结束时，进入系统的总顾客数 
len_mem = length(member); 
%***************************************** 
%输出结果 
%***************************************** 
%绘制在仿真时间内，进入系统的所有顾客的到达时刻和离 
%开时刻曲线图（stairs：绘制二维阶梯图） 
stairs([0 events(1,member)],0:len_mem); 
hold on; 
stairs([0 events(4,member)],0:len_mem,'.-r'); 
legend('到达时间 ','离开时间 '); 
hold off; 
grid on; 
%绘制在仿真时间内，进入系统的所有顾客的停留时间和等 
%待时间曲线图（plot：绘制二维线性图） 
figure; 
plot(1:len_mem,events(3,member),'r-*',1: len_mem,events(2,member)+events(3,member),'k-'); 
legend('等待时间 ','停留时间 '); 
grid on;

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