matlab的使用(四)向量组线性相关性

常用命令

命令	功能
clear	清除内存变量和函数
[R,s] = rref(A)	R 为矩阵 A 的最简行阶梯形，s 是一个行向量，它的元素由 R 线性无关向量所在的列号组成
length(s)	计算矩阵 s 的行数、列数中较大值
find(s)	计算矩阵 s 中非零元素的下标

例1. 判断线性相关性

判断下列向量组的线性相关性

$$（1）\begin{cases} a_1 = (1,-2,3,-4)^T\\ a_2 = (0,1,-1,-1)^T\\ a_3 = (1,3,0,1)^T\\ a_4 = (0,-7,3,1)^T\\ \end{cases}$$
$$（2）\begin{cases} c_1 = (1,2,3,-1)^T\\ c_2 = (3,2,1,-1)^T\\ c_3 = (2,3,1,1)^T\\ c_4 = (2,2,2,-1)^T\\ c_5 = (5,5,2,0)^T\\ \end{cases}$$

（1）

clear;     % 清除内存变量和函数
a1 = [1;-2;3;-4];    % 输入向量 a1
a2 = [0;1;-1;-1];    % 输入向量 a2
a3 = [1;3;0;1];     % 输入向量 a3
a4 = [0;-7;3;1];    % 输入向量 a4
A = [a1 a2 a3 a4];     % a1 到 a4 作为矩阵 A 的列矩阵
[R,s] = rref(A)     % R 为矩阵 A 的行最简型矩阵，s 为矩阵 A 一组极大无关组向量的列标号

由运行结果可知，(1) 中向量组的秩为 4，且一组极大无关组为 a$_1$,a$_2$,a$_3$,a$_4$，所以此向量组线性无关

（2）

clear; 
c1 = [1;2;3;-1];
c2 = [3;2;1;-1];
c3 = [2;3;1;1];
c4 = [2;2;2;-1];
c5 = [5;5;2;0];
C = [c1 c2 c3 c4 c5];
[R,s] = rref(C)

由运行结果可以知道，(2) 中的向量组的极大无关组是 c$_1$,c$_2$,c$_3$，所以此向量组线性相关

例2. 判断线性相关性并用其他向量表示

求下列向量组和一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组表示

$$\begin{cases} a_1 = (2,1,6,5,6)^T\\ a_2 = (6,3,18,15,18)^T\\ a_3 = (0,3,-2,13,0)^T\\ \end{cases}$$

clear
a1 = [2;1;6;5;6];
a2 = [6;3;18;15;18];
a3 = [0;3;-2;13;0];
A = [a1 a2 a3];
[R,s] = rref(A)

由运行结果可以知道，该向量组的秩为 2，极大无关值是 a$_1$,a$_2$，并且由矩阵 R 知 a$_2$ = 3a$_1$ + 0a$_3$;

例3. 减肥配方问题

考虑能否用三种食物：脱脂牛奶、大豆面粉和乳清混合代替细胞营养粉，若能代替，这三种食物各占的比例为多少？

分析：脱脂牛奶、大豆面粉、乳清混合和细胞营养粉分别用三维列向量 $u_1$,$u_2$,$u_3$,$u_4$ 表示，分析由这四个向量组成的向量组的线性相关性，若线性无关，则不能代替，若 $u_1$,$u_2$,$u_3$ 线性无关，$u_1$,$u_2$,$u_3$,$u_4$ 线性相关则可由这三种食物混合混合代替细胞营养粉，并求出混合比例

u1 = [36;52;0];    
u2 = [51;34;7];
u3 = [13;74;1.1];
u4 = [40;52;3.2];
U = [u1 u2 u3 u4];
[R,s] = rref(U)

由运行结果可以知道，向量组是线性相关的，且 $u_1$,$u_2$,$u_3$ 是线性无关，可由这三种食物混合代替细胞营养粉。$u_1$,$u_2$,$u_3$ 是一个极大线性无关组，且有 $u_4$ = 0.4356$u_1$ + 0.4255$u_2$ + 0.2010$u_3$

例4. 混凝土配方问题

（1）分析这三种混凝土是否可以用其中的两种来配出第三种？
（2）现在有甲、乙两个用户要求混凝土中含水、水泥、沙、石子、粉煤炭的比例分别是：24,52,73,133,12 和 36,75,100,185,20。那么，能否用这三种型号混凝土配出满足甲、乙要求的混凝土？

（1）把每种型号的混凝土看成是一个五维的列向量，分析这三种混凝土是否可以用其中的两种来配出第三种，即分析 $u_1$,$u_2$,$u_3$ 是否线性相关，若相关，则能；若无关，则不能

u1 = [10;22;32;53;0];
u2 = [10;26;31;64;5];
u3 = [10;18;29;50;8];
U = [u1 u2 u3];
[R,s] = rref(U)

由运行结果可以知道，向量组 $u_1$,$u_2$,$u_3$ 是线性无关的，所以无法配出

（2）把甲、乙提出的比例分别用向量 $v_1$,$v_2$ 表示，则

u1 = [10;22;32;53;0];
u2 = [10;26;31;64;5];
u3 = [10;18;29;50;8];
v1 = [24;52;73;133;12];
v2 = [36;75;100;185;20];
U = [u1 u2 u3 v1 v2];
[R,s] = rref(U)

可以得出结论：$v_1$ = 0.6$u_1$ + 0.8$u_2$ + $u_3$
即 $v_1$ 可以配出，$v_2$ 不能