天线阵列模型

0. 前言

阵列信号处理基础本质上属于参数估计问题，和信道估计知识基本上别无二致。末学在这里整理了阵列信号处理的基础知识，包括公式推导，以及代码。一方面为了节省同行人士寻找资料和整理吸收的时间，开方便之门。另一方面为了和大家多多交流这方面的知识，寻找研究灵感。

如果有任何问题或者有相关的 MATLAB 代码，本着交流的态度请分享到我的邮箱：[email protected]。

愿以此功德，庄严佛净土。上报四重恩，下济三途苦。
若有见闻者，悉发菩提心。尽此一报身，同生极乐国。
南无大智文殊菩萨。

3. 天线阵列模型1

天线阵元之间的摆放位置影响着阵列接收信号的数学模型，不同的天线阵列模型有着不一样的应用场景，并影响着阵列信号处理的方法。

3.1 均匀线阵

ula1

假设 $M$ 个阵元等距离排列成一条直线，阵元间距为 $d$ 。假设选取最左边的天线阵元作为参考点，则第 $m$ 个天线阵元相对于参考点的时间延迟可以表示为

τ_{m} (θ_{i}) = \frac{(m - 1) d \sin θ_{i}}{v}

$\tau_m(\theta_i) = \frac{(m-1)d \sin \theta_i}{v}$

各天线阵元之间的互耦效应忽略不计，且阵元间距为最高频率源信号的半波长，即 $d=\frac{\lambda}{2}$ 。
传播距离远大于阵列大小，即信号在介质中以平面波的形式到达阵列。
接收机各个通道拥有完全相同的特性。

根据以上假设，方向向量可以写为

a (θ_{i}) = {[1, e^{j π \sin θ_{i}}, e^{j 2 π \sin θ_{i}}, \dots, e^{j (M - 1) π \sin θ_{i}}]}^{T}

$\mathbf{a}(\theta_i) = \left[1,e^{j\pi \sin \theta_i},e^{j2\pi \sin \theta_i},\cdots,e^{j(M-1)\pi \sin \theta_i} \right]^T$

3.2 L 型阵

如图为 L 型阵列模型，在 $x$ 轴和 $y$ 轴均 $M$ 个阵元，阵元间距为 $d$ 。 $K$ 个信源，二维入射角为 $(\theta_i,\varphi_i)$ 。 $x$ 轴上的接收信号模型可以视为线性阵列， $y$ 轴同理：

\begin{aligned} X & = A_{x} S + N_{x} \\ Y & = A_{y} S + N_{y} \end{aligned}

$\begin{align*} X &= A_xS+N_x \\ Y &= A_yS+N_y \end{align*}$

其中，方向矩阵为

\begin{aligned} A_{x} & = [a_{x} (θ_{1}, φ_{1}), \dots, a_{x} (θ_{K}, φ_{K})] \\ A_{y} & = [a_{y} (θ_{1}, φ_{1}), \dots, a_{y} (θ_{K}, φ_{K})] \\ a_{x} (θ_{i}, φ_{i}) & = {[1, e^{- j \frac{2 π}{λ} d \cos θ_{i} \sin φ_{i}}, \dots, e^{- j \frac{2 π}{λ} (M - 1) d \cos θ_{i} \sin φ_{i}}]}^{T} \\ a_{y} (θ_{i}, φ_{i}) & = {[1, e^{- j \frac{2 π}{λ} d \sin θ_{i} \sin φ_{i}}, \dots, e^{- j \frac{2 π}{λ} (M - 1) d \sin θ_{i} \sin φ_{i}}]}^{T} \end{aligned}

$\begin{align*} A_x &= \left[a_x(\theta_1,\varphi_1),\cdots,a_x(\theta_K,\varphi_K)\right] \\ A_y &= \left[a_y(\theta_1,\varphi_1),\cdots,a_y(\theta_K,\varphi_K)\right] \\ a_x(\theta_i,\varphi_i) &= \left[1,e^{-j\frac{2\pi}{\lambda}d \cos\theta_i \sin\varphi_i},\cdots,e^{-j\frac{2\pi}{\lambda}(M-1)d \cos\theta_i \sin\varphi_i}\right]^T \\ a_y(\theta_i,\varphi_i) &= \left[1,e^{-j\frac{2\pi}{\lambda}d \sin\theta_i \sin\varphi_i},\cdots,e^{-j\frac{2\pi}{\lambda}(M-1)d \sin\theta_i \sin\varphi_i}\right]^T \end{align*}$

3.3 均匀平面阵

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假设有 $K$ 个信号源，均匀平面阵列指的是 $M$ 个天线阵元等间距的排列成一个正方形或者矩形，如上图所示由 $M\times N$ 个阵元组成。 $x$ 轴方向有 $N$ 个间距为 $d$ 的均匀线阵， $y$ 轴方向有 $M$ 个间距为 $d$ 的均匀线阵。如果选取原点为参考点，另外某个阵元的坐标可以写为 $(x_n,y_m)$ ，于是时延差可以写为

\begin{aligned} τ_{n, m} (φ_{k}, θ_{k}) & = \frac{x_{n} \sin φ_{k} \cos θ_{k} + y_{m} \sin φ_{k} \sin θ_{k}}{v} \\ a_{n, m} (φ_{k}, θ_{k}) & = \exp (- j w_{0} τ_{n, m} (φ_{k}, θ_{k})) \\ X & = A S + N \\ S & = {[s_{1} (t), \dots, s_{K} (t)]}^{T} \in C^{K \times 1} \\ A & = [a (θ_{1}, φ_{1}), \dots, a (θ_{K}, φ_{K})] \in C^{N M \times K} \end{aligned}

$\begin{align*} \tau_{n,m}(\varphi_k,\theta_k) &= \frac{x_n\sin\varphi_k\cos\theta_k + y_m\sin\varphi_k\sin\theta_k}{v}\\ a_{n,m}(\varphi_k,\theta_k) &= \exp\left(-jw_0\tau_{n,m}(\varphi_k,\theta_k)\right) \\ X &= AS+N \\ S &= \left[s_1(t),\cdots,s_K(t)\right]^T \in \mathbb{C}^{K \times 1}\\ A &= \left[a(\theta_1,\varphi_1),\cdots,a(\theta_K,\varphi_K)\right] \in \mathbb{C}^{NM \times K} \end{align*}$

从 $x$ 轴对应的 $N$ 个阵元的方向矩阵和从 $y$ 轴对应的 $M$ 个阵元的方向矩阵为

\begin{aligned} A_{x} & = [a_{x} (θ_{1}, φ_{1}), \dots, a_{x} (θ_{K}, φ_{K})] \\ A_{y} & = [a_{y} (θ_{1}, φ_{1}), \dots, a_{y} (θ_{K}, φ_{K})] \\ a_{x} (θ_{i}, φ_{i}) & = {[1, e^{- j \frac{2 π}{λ} d \cos θ_{i} \sin φ_{i}}, \dots, e^{- j \frac{2 π}{λ} (N - 1) d \cos θ_{i} \sin φ_{i}}]}^{T} \\ a_{y} (θ_{i}, φ_{i}) & = {[1, e^{- j \frac{2 π}{λ} d \sin θ_{i} \sin φ_{i}}, \dots, e^{- j \frac{2 π}{λ} (M - 1) d \sin θ_{i} \sin φ_{i}}]}^{T} \end{aligned}

$\begin{align*} A_x &= \left[a_x(\theta_1,\varphi_1),\cdots,a_x(\theta_K,\varphi_K)\right] \\ A_y &= \left[a_y(\theta_1,\varphi_1),\cdots,a_y(\theta_K,\varphi_K)\right] \\ a_x(\theta_i,\varphi_i) &= \left[1,e^{-j\frac{2\pi}{\lambda}d \cos\theta_i \sin\varphi_i},\cdots,e^{-j\frac{2\pi}{\lambda}(N-1)d \cos\theta_i \sin\varphi_i}\right]^T \\ a_y(\theta_i,\varphi_i) &= \left[1,e^{-j\frac{2\pi}{\lambda}d \sin\theta_i \sin\varphi_i},\cdots,e^{-j\frac{2\pi}{\lambda}(M-1)d \sin\theta_i \sin\varphi_i}\right]^T \end{align*}$

则可以得到方向矩阵

\begin{aligned} X & = A S + N \\ S & = {[s_{1} (t), \dots, s_{K} (t)]}^{T} \in C^{K \times 1} \\ A & = [a (θ_{1}, φ_{1}), \dots, a (θ_{K}, φ_{K})] \\ = [\begin{matrix} A_{x} D_{1} (A_{y}) \\ A_{x} D_{2} (A_{y}) \\ ⋮ \\ A_{x} D_{M} (A_{y}) \end{matrix}] \in C^{N M \times K} \end{aligned}

$\begin{align*} X &= AS+N \\ S &= \left[s_1(t),\cdots,s_K(t)\right]^T \in \mathbb{C}^{K \times 1}\\ A &= \left[a(\theta_1,\varphi_1),\cdots,a(\theta_K,\varphi_K)\right] \\ &= \begin{bmatrix} A_x D_1(A_y) \\ A_x D_2(A_y) \\ \vdots \\ A_x D_M(A_y) \end{bmatrix} \in \mathbb{C}^{NM \times K} \end{align*}$
其中

D_{i} (\cdot)

$D_i(\cdot)$ 表示取矩阵的第

i

$i$ 行作为构成对角矩阵的对角元素。

3.4 均匀圆阵

如图所示为均匀圆阵模型， $M$ 个阵元均匀分布在圆周上，假设 $K$ 个信源，二维入射角为 $(\theta_i,\varphi_i)$ ，一般取圆周上两个阵元的间距为 $\lambda/2$ ，对应的圆半径取为 $R = \frac{\lambda}{4} / \sin(\frac{\pi}M)$ ，阵列的第 $m$ 个阵元与 $x$ 轴的角度用 $\frac{2\pi}{M}\cdot (m-1)$ 表示。

以原点为参考点，则位于 $x$ 轴正方向的阵元视为沿着半径方向为轴的参考系。则有时延差：

τ_{m = 1, i} = \frac{R \sin φ_{i} \cos θ_{i}}{v}

$\tau_{m=1,i} = \frac{R \sin\varphi_i \cos\theta_i}{v}$
其中

θ_{i}

$\theta_i$ 是入射投影与半径方向的轴之间的夹角。同理第

m

$m$ 个阵元即把阵元与原点之间的半径方向作为参考轴，此时入射投影与半径方向的轴之间的夹角为

θ_{i} - \frac{2 π (m - 1)}{M}

$\theta_i-\frac{2\pi(m-1)}{M}$ 。则有时延差：

τ_{m, i} = \frac{R \sin φ_{i} \cos (θ_{i} - \frac{2 π (m - 1)}{M})}{v}

$\tau_{m,i} = \frac{R \sin\varphi_i \cos\left(\theta_i-\frac{2\pi(m-1)}{M}\right)}{v}$
于是阵列方向向量为

\begin{aligned} A & = [a (θ_{1}, φ_{1}), \dots, a (θ_{K}, φ_{K})] \\ a (θ_{i}, φ_{i}) & = [\begin{matrix} \exp (- j 2 π R \sin φ_{i} \cos (θ_{i})) \\ \exp (- j 2 π R \sin φ_{i} \cos (θ_{i} - \frac{2 π}{M})) \\ ⋮ \\ \exp (- j 2 π R \sin φ_{i} \cos (θ_{i} - \frac{2 π (M - 1)}{M})) \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} A &= \left[a(\theta_1,\varphi_1),\cdots,a(\theta_K,\varphi_K)\right] \\ a(\theta_i,\varphi_i) &= \begin{bmatrix} \exp\left(-j2\pi R\sin\varphi_i \cos\left(\theta_i\right)\right) \\ \exp\left(-j2\pi R\sin\varphi_i \cos\left(\theta_i-\frac{2\pi}{M}\right)\right) \\ \vdots \\ \exp\left(-j2\pi R\sin\varphi_i \cos\left(\theta_i-\frac{2\pi(M-1)}{M}\right)\right) \end{bmatrix} \end{align*}$

3.5 任意三维阵列天线模型

如图所示为任意阵列模型。假设 $M$ 个阵元任意分布在空间中，二维入射角为 $(\theta_i,\varphi_i)$ ，假设有 $K$ 个信号源。则入射的方向矢量为：

V = {[\begin{matrix} \sin φ_{i} \cos θ_{i} & \sin φ_{i} \sin θ_{i} & \cos φ_{i} \end{matrix}]}^{T}

$\mathbf{V} = \begin{bmatrix} \sin\varphi_i\cos\theta_i & \sin\varphi_i\sin\theta_i & \cos\varphi_i \end{bmatrix}^T$
如果第

m

$m$ 个阵元的坐标位置为

r_{m} = (x_{m}, y_{m}, z_{m})

$\mathbf{r}_m = ( x_m, y_m, z_m)$ ，波速为

v

$v$ 。那么

τ_{m} (θ_{i}, φ_{i}) = \frac{1}{v} (x_{m} \sin φ_{i} \cos θ_{i} + y_{m} \sin φ_{i} \sin θ_{i} + z_{m} \cos φ_{i})

$\tau_{m}(\theta_i,\varphi_i) = \frac{1}{v} \left( x_m \sin\varphi_i\cos\theta_i + y_m \sin\varphi_i\sin\theta_i + z_m \cos\varphi_i \right)$
因此可得导向矢量：

a (θ_{i}, φ_{i}) = [\begin{matrix} p_{1} (θ_{i}, φ_{i}) \exp (j \frac{2 π}{λ} r_{1} \cdot V) \\ p_{2} (θ_{i}, φ_{i}) \exp (j \frac{2 π}{λ} r_{2} \cdot V) \\ ⋮ \\ p_{M} (θ_{i}, φ_{i}) \exp (j \frac{2 π}{λ} r_{M} \cdot V) \end{matrix}]

$\mathbf{a}(\theta_i,\varphi_i) = \begin{bmatrix} p_1(\theta_i,\varphi_i) \exp(j \frac{2\pi}{\lambda} \mathbf{r}_1 \cdot \mathbf{V}) \\ p_2(\theta_i,\varphi_i) \exp(j \frac{2\pi}{\lambda} \mathbf{r}_2 \cdot \mathbf{V}) \\ \vdots\\ p_M(\theta_i,\varphi_i) \exp(j \frac{2\pi}{\lambda} \mathbf{r}_M \cdot \mathbf{V}) \end{bmatrix}$
对于传统阵列，通常极化矢量

p_{k} (θ, φ) = 1

$p_k(\theta,\varphi) =1$ 一般省略。但是对于极化敏感阵列，不同载体的影响产生屏蔽效应，所以

p_{k} (θ, φ)

$p_k(\theta,\varphi)$ 不能省略。

定义传统阵列方向矩阵为： $A = \left[a(\theta_1,\varphi_1),\cdots,a(\theta_K,\varphi_K)\right]$ 。

参考文献

毫米波低复杂度 DOA 估计与波束成形技术的研究 ↩

阵列信号基础：天线阵列模型