题意:
求两两互不同构的含n个点的简单图有多少种。(n<=60)
简单图是关联一对顶点的无向边不多于一条的不含自环的图。
a图与b图被认为是同构的是指a图的顶点经过一定的重新标号以后,a图的顶点集和边集能完全与b图一一对应。
分析:
简单图的计数相当于对有
个无标志顶点的完全图用两种颜色进行着色的不同方案数。
首先,考虑点置换与边置换的关系:
一条边连接了两个点,那么对于这两个点,考虑他们在某个置换中的位置:
若这两个点在同一个循环中,那么边的循环的个数为点的循环的个数的一半。
若这两个点不在一个循环中,那么边的循环的个数为
为这两个点所在的点循环的长度。(可以画个图,看一看就知道了)
其次,考虑如何找出所有的置换:
如果
比较小,可以暴力枚举,时间为
(点的全排列)
比较大的时候,由于属于同一共轭类的置换对答案的贡献是相同的,所以考虑枚举一个共轭类,求出这个形式的置换的着色方案数,再乘以该形式的置换的数目,即
为长度是
的循环的个数).
现在已经确定了一种点的置换的形式,那么对应的边的着色方案数如上文所说,考虑两个点是否在同一置换中即可。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 60
#define MO 997
int n,ans;
int G[MAXN+5][MAXN+5],inv[MO],Pow[MAXN+5][MAXN+5],fac[MAXN+5];
int PowMod(int a,int b)
{
int ret=1;
while(b)
{
if(b&1) ret=ret*a%MO;
a=a*a%MO;
b>>=1;
}
return ret;
}
int gcd(int a,int b)
{
while(b)
{
int t=a;
a=b;b=t%b;
}
return a;
}
void Pre()
{
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=MAXN;i++)
{
fac[i]=i*fac[i-1]%MO;
Pow[i][0]=1;
for(int j=1;j<=MAXN;j++)
Pow[i][j]=Pow[i][j-1]*i%MO,G[i][j]=gcd(i,j);
}
inv[1]=1;
for(int i=2;i<MO;i++)
inv[i]=(MO-MO/i)*inv[MO%i]%MO;
}
int val[MAXN],cnt[MAXN],c;//val:某一循环的长度,cnt:该循环在此类置换中出现的数量。
void dfs(int s,int left)
{
if(left==0)
{
int sum1=0,sum2=1;//sum1:统计该置换下边的着色方案 ,sum2:该形式的置换的数目
for(int i=1;i<=c;i++)
{
sum1+=val[i]/2*cnt[i]+cnt[i]*(cnt[i]-1)/2*val[i];
sum2=sum2*fac[cnt[i]]*Pow[val[i]][cnt[i]]%MO;
for(int j=i+1;j<=c;j++)
sum1+=cnt[i]*cnt[j]*G[val[i]][val[j]];
}
sum2=inv[sum2]*fac[n]%MO;
ans=(ans+sum2*PowMod(2,sum1))%MO;
return;
}
if(left<s) return;
dfs(s+1,left);
for(int i=1;i*s<=left;i++)
{
val[++c]=s,cnt[c]=i;
dfs(s+1,left-i*s);
c--;
}
}
int main()
{
Pre();
scanf("%d",&n);
dfs(1,n);
ans=ans*inv[fac[n]]%MO;
printf("%d\n",ans);
}