【算法学习】点分治的两种写法与常见套路总结

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概述

点分治是一种基于树的重心，统计树上路径的优秀算法。将树上的路径分为经过树的重心和不经过树的重心两种，同时利用树的重心性质，使得递归深度不超过$logn$次。总时间复杂度取决于每次递归统计答案的时间复杂度。若每次统计是$O(n)$的，那么总时间复杂度是$O(nlogn)$。若统计的时间复杂度是$O(nlogn)$的，那么总时间复杂度为$O(nlog^2n)$。这两种时间复杂度均为可也接受的。

写法

点分治有2种写法。

1. 对于某个重心$u$，统计以$u$为根的所有路径，然后计算出所有组合情况。递归子树时，首先删除全部在一颗子树的路径，然后再进入子树递归求解。这样可以保证路径全部合法且不重不漏。
2. 对于某个重心$u$，先进入子树$v_1$，求解出$u$到子树$v_1$所有节点的路径，然后进入子树$v_2$，进入时先统计答案，然后再统计相关值。每次进入新的子树时，先统计答案，这样每次计算的路径一定是和之前统计过子树的相连而成的，没有不合法的答案，所以不用删除。最后，依次递归进子树，找出重心递归求解。

图1表示直接统计以重心为根的子树上的路径，递归进入子树之前，首先删除子树中的不合法路径。

图2表示按子树依次递归进入，进入后先统计答案，然后再统计相关值。统计答案是利用到了先前子树的信息。

一般来说，第二种写法常数更小。

相关套路

目前遇到的题型有

1. 路径和等于或小于等于$k$的点对（路径条数）。
2. 路径和为某个数的倍数。
3. 路径和为$k$且路径的边数最少。
4. 路径和$mod \ M$后为某个值。
5. 路径上经过不允许点的个数不超过某个值，且路径和最大。

如若使用方法1，一般开一个栈，保存路径上的距离等相关信息，排序后利用单调性或者二分找答案。

如若使用方法2，则一般处理这些问题时，都是开一个桶$mess[i]$，表示距离为$i$的相关信息。