[2018.08.02 T1] 第一题

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第一题

【问题描述】

给定 n，求所有小于等于 n 的数，与 n 的最大公约数之和。

【输入格式】

输入包含一个非负整数 n。

【输出格式】

输出一个整数，为求和的结果。

【输入样例 1】

10

【输出样例 1】

27

【样例说明 1】

有四个数和 10 的最大公约数为 1，四个数为 2，一个数为 5，一个数为 10。

【输入样例 2】

123456

【输出样例 2】

1644800

【数据范围】

对于 40%的数据点， $1<=n<=10^5$。

对于 60%的数据点， $1<=n<=10^7$。

对于 100%的数据点， $1<=n<=10^9$。

题解

我特么为什么信了$\mathcal{LZR}$的邪要去推式子。。。

考虑$gcd(i,n)$肯定是$n$的约数，那么不妨枚举$n$的约数来统计每个约数的贡献。

因为$gcd(i,n)=d$，就有$gcd(\frac{n}{d},\frac{i}{d})=1$，即$d$出现了所有小于等于$\frac{n}{d}$且与$\frac{n}{d}$互质的数的个数次，所以$d$的贡献就是$d\times \varphi(\frac{n}{d})$。

注意特判$n$为完全平方数的情况。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e5+5;
int mx,n;
long long ans;
int phi(int x)
{
    if(x==1)return 1;
    int sqt=sqrt(x),ans=1,flag=0;
    for(int i=2;i<=sqt;++i){for(;x%i==0;x/=i,ans*=i,flag=1);if(flag)ans=ans/i*(i-1),flag=0;}
    if(x>sqt)return ans*(x-1);
    return ans;
}
void in(){scanf("%d",&n);}
void ac()
{
    mx=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=mx;++i)if(n%i==0)ans+=1ll*i*phi(n/i)+1ll*(n/i)*phi(i);
    if(mx*mx==n)ans-=1ll*mx*phi(n/mx);
    printf("%lld",ans);
}
main(){in();ac();}