题目描述
近来A国和B国的矛盾激化，为了预防不测，A国准备修建一条长长的防线，当然修建防线的话，肯定要把需要保护的城市修在防线内部了。可是A国上层现在还犹豫不决，到底该把哪些城市作为保护对象呢？又由于A国的经费有限，所以希望你能帮忙完成如下的一个任务：
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给出你所有的A国城市坐标
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A国上层经过讨论，考虑到经济问题，决定取消对i城市的保护，也就是说i城市不需要在防线内了
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A国上层询问对于剩下要保护的城市，修建防线的总经费最少是多少
你需要对每次询问作出回答。注意单位1长度的防线花费为1。
A国的地形是这样的，形如下图，x轴是一条河流，相当于一条天然防线，不需要你再修建
A国总是有两个城市在河边，一个点是(0,0)，一个点是(n,0)，其余所有点的横坐标均大于0小于n，纵坐标均大于0。A国有一个不在(0,0)和(n,0)的首都。(0,0),(n,0)和首都这三个城市是一定需要保护的。
说明
数据范围：
30%的数据m<=1000,q<=1000
100%的数据m<=100000,q<=200000,n>1
所有点的坐标范围均在10000以内, 数据保证没有重点
题解
要动态维护一个凸包。还要维护删除操作？
删除麻烦，可以离线，把删除变成插入操作。
一切就简单又自然了。
插入一个点t，就要找到凸包上的第一个大于等于横坐标x的点p，和第一个小于x的点q。即后继前驱。
题目很善良，河边点不会删除，所以一定在凸包上，不会有什么边界的锅。
如果在凸包里面那么就直接返回，怎么判断？
如果q和p的斜率在t和p的斜率，t和q的斜率大小之间的话，那么这个点一定不在凸包上。画图可以理解。
反之就一定在凸包上。
然后开始弹出点。不断向右比较斜率，再不断向左比较斜率。
最后把t加入凸包。
删除点的时候，实时更新防线的长度。
不要忘了最后把p、q之间的连边删除。
找前驱后继再删除，可以用splay实现。
但是没有必要，set完全可以支持。
代码：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=100000+10; const double inf=19260817.0; int n,m; int cx,cy,far; double now; struct que{ int typ; int id; double ans; }q[2*N]; struct po{ int x,y; bool friend operator<(po a,po b){ return a.x<b.x; } void op(){ cout<<" point "<<x<<" "<<y<<endl; } }a[N]; bool die[N]; set<po>s; set<po>::iterator it1,it2,it3; double dis(po a,po b){ return sqrt((double)(a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(double)(a.y-b.y)*(a.y-b.y)); } double slo(po a,po b){//(x1,y1) -> (x2,y2) if(a.x==b.x){ return a.y>b.y?-inf:inf; } return ((double)a.y-(double)b.y)/((double)a.x-(double)b.x); } void upda(po lp){ //lp.op(); //cout<<" size "<<s.size()<<endl; it2=s.lower_bound(lp); it1=it2;it1--; if(slo(*it1,lp)<=slo(*it1,*it2)&&slo(*it1,*it2)<=slo(lp,*it2)){ return;//has been protected; } now-=dis(*it1,*it2); it3=it2;it3++; while(it3!=s.end()&&slo(lp,*it2)<=slo(lp,*it3)){ now-=dis(*it2,*it3); s.erase(it2); it2=it3; it3++; } now+=dis(lp,*it2); it3=it1;it3--; while(it1!=s.begin()&&slo(lp,*it1)>=slo(lp,*it3)){ now-=dis(*it1,*it3); s.erase(it1); it1=it3; it3--; } now+=dis(lp,*it1); s.insert(lp); } int main() { scanf("%d%d%d",&far,&cx,&cy); scanf("%d",&n);int x,y; for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d%d",&x,&y); a[i].x=x,a[i].y=y; } scanf("%d",&m); for(int i=1;i<=m;i++){ scanf("%d",&q[i].typ); if(q[i].typ==1) scanf("%d",&q[i].id),die[q[i].id]=1; } po st;st.x=0,st.y=0;s.insert(st); po nd;nd.x=far,nd.y=0;s.insert(nd); po ca;ca.x=cx,ca.y=cy;s.insert(ca); now=dis(st,ca)+dis(ca,nd); for(int i=1;i<=n;i++){ if(!die[i]){ upda(a[i]); } } for(int i=m;i>=1;i--){ if(q[i].typ==2){ q[i].ans=now; } else{ upda(a[q[i].id]); } } for(int i=1;i<=m;i++){ if(q[i].typ==2){ printf("%.2lf\n",q[i].ans); } } return 0; }
总结：
现在我们有了一些斜率优化中，维护凸包的方法。
1.单调队列，适用于斜率有单调性，并且x要有单调性。才可以直接队头弹出，队尾插入。均摊O(1)
2.队列+二分。对于加入点的x有单调性，但是查询的斜率无单调性的时候，就要二分了。
二分到第一个斜率大于/小于查询斜率的点，作为决策点即可。除了队尾加入的时候，为了维护凸包所需，不会从队头弹出点。】
3.set（平衡树）维护。对于一般情况的凸包，可能加入的x在任何位置，查询什么凸包的周长，就必须用set了。
但是，对于斜率优化中，要查询一个第一个和后继/前驱比k大/小的点，因为set是按照x重载的运算符，不能直接lower_bound了。
所以，只能手写一棵splay，（就我所知）别无他法。
具体来说，一个splay树上的节点，按照x排序，而且必须还要记录和后继的斜率slope，和子树内所有后继斜率slope的最小值，便于直接二分。