【摘要】求弦长问题，常见于直线和圆，直线和椭圆，直线和双曲线，直线和抛物线相交所形成的弦的长度问题。
第一类，直线和圆相交所得的弦长问题；
常用方法：
①几何方法；利用弦心距、半弦长、半径所形成的\(Rt\Delta\)求解，还用到点到直线的距离公式。
②弦长公式；\(|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|\)，运算量稍大一些；
③直线的参数方程法；\(|AB|=|t_1-t_2|\)，此时需要注意直线的参数方程必须是标准形式，这种方法不太好理解。
其中以几何方法最为简单。举例如下，
\(\fbox{例1}\)【2019届凤中高三理科月考1第22题】
在平面直角坐标系\(xoy\)中，直线\(l\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.(t为参数)\)，以原点为极点，以\(x\)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，\(\odot C\)的极坐标方程为\(\rho^2-4\rho sin\theta-12=0\)，
(1) 求\(\odot C\)的参数方程；
分析：将\(\rho^2=x^2+y^2\)，\(y=\rho\cdot sin\theta\)
代入\(\odot C\)的极坐标方程\(\rho^2-4\rho sin\theta-12=0\)，
得到\(\odot C\)的直角坐标方程为\(x^2+y^2-4y-12=0\)，
即\(x^2+(y-2)^2=16=4^2\)，
故\(\odot C\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4cos\theta}\\{y=2+4sin\theta}\end{array}\right.\) (\(\theta\)为参数，\(\theta\in [0，2\pi)\))。
(2)求直线\(l\)被\(\odot C\)截得的弦长。
【法1，几何方法，\(Rt\Delta\)】将直线\(l\)的参数方程消参，得到其普通方程为\(2x-y-3=0\)，
则圆心\((0，2)\)到直线的距离为\(d=\cfrac{|-2-3|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}\)，
则直线\(l\)被\(\odot C\)截得的弦长为\(2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{4^2-(\sqrt{5})^2}=2\sqrt{11}\)。
【法2，弦长公式】设直线和圆的交点为\(A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2)\)，
联立得到方程组，\(\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3=0}\\{x^2+y^2-4y-12=0}\end{array}\right.\)
消去\(y\)得到，\(x^2+(2x-3)^2-4(2x-3)-12=0\)，
整理得到，\(5x^2-20x+9=0\)，
由韦达定理得到，\(x_1+x_2=4\)，\(x_1x_2=\cfrac{9}{5}\)，
由弦长公式得到，\(|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|\)
\(=\sqrt{1+2^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)
\(=\sqrt{5}\sqrt{16-\cfrac{36}{5}}=2\sqrt{11}\)。
【法3，利用直线的参数方程求解】图像解释
直线\(l\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.(t为参数)\)，
(此时千万要注意，弦长\(|AB|\neq |t_1-t_2|\)，原因是这个参数方程不是标准形式的)
将其做如下的转化，
\(\left\{\begin{array}{l}{x=2+\cfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{5}t}\\{y=1+\cfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{5}t}\end{array}\right.(t为参数)\)，
令\(\sqrt{5}t=m\)，则其参数方程的标准形式为
\(\left\{\begin{array}{l}{x=2+\cfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot m}\\{y=1+\cfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot m}\end{array}\right.(m为参数)\)，
【此时参数\(m\)的几何意义才是动点到静点的距离的数量，千万要注意，即弦长\(|AB|=|m_1-m_2|\)】
将直线\(l\)的参数方程的标准形式代入圆的普通方程得到，
\((2+\cfrac{1}{\sqrt{5}}m)^2+(1+\cfrac{2}{\sqrt{5}}m)^2-4(1+\cfrac{2}{\sqrt{5}}m)-12=0\)
整理为\(m^2-11=0\)，
令直线和圆的两个交点\(A，B\)分别对应的参数为\(m_1，m_2\)，
则\(m_1+m_2=0\)，\(m_1m_2=-11\)，
此时弦长\(|AB|=|m_1-m_2|=\sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2}=\sqrt{4\times 11}=2\sqrt{11}\)。
第二类，直线和椭圆相交所得的弦长问题；
常用方法：
①几何方法不再适用；
②弦长公式还能使用；\(|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|\)，运算量稍大一些；
③直线的参数方程法；\(|AB|=|t_1-t_2|\)，需要注意直线的参数方程必须是标准形式；
其中以直线的参数方程法最为简单。举例如下，
第三类，直线和双曲线相交所得的弦长问题；
常用方法：
①几何方法不再适用；
②弦长公式还能使用；\(|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|\)，运算量稍大一些；
③直线的参数方程法；\(|AB|=|t_1-t_2|\)，需要注意直线的参数方程必须是标准形式；
其中以直线的参数方程法最为简单。举例如下，
第四类，直线和抛物线相交所得的弦长问题；
常用方法：
①几何方法不再适用；
②弦长公式还能使用；\(|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|\)，运算量稍大一些；
③直线的参数方程法；\(|AB|=|t_1-t_2|\)，需要注意直线的参数方程必须是标准形式；
其中以直线的参数方程法最为简单。举例如下，