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【问题描述】
最近对问题要求在包含有n个点的集合S中，找出距离最近的两个点。设 p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，……，pn(xn,yn)是平面的n个点。
严格地将，最近点对可能不止一对，此例输出一对即可。
【基本算法思想】
暴力法：
在蛮力法实现最近点对问题中，将问题简化：距离最近的点对可能多于一对，找出一对即可，另外只考虑二维平面中的情况。此处考虑到
直接用公式计算其距离（欧几里得距离）：
通过遍历所有点集，计算出每一个点对的距离，计算出最近的距离并输出。避免同一对点计算两次，只考虑i<j的点对(pi,pj)。
其主要循环的步骤就是求出平方值，执行的次数为：
分治法:
在利用分治法思想解决此问题时，首先考虑将最近对问题进行分治，设计其分治策略。将集合S分成两个子集S1和S2，根据
平衡子问题原则，每个子集中的点数大致都为n/2。这样分治后，最近点对将会出现三种情况：在S1中，在S2中或者最近
点对分别在集合S1和S2中。利用递归分析法分别计算前两种情况，第三种方法另外分析。求解出三类子情况后，
再合并三类情况，比较分析后输出三者中最小的距离。
***复杂度分析***: 在分治算法中，当求解n个点的集合的最近点对时，对于上述三类情况中的前两者可由递归算得，
而分析可得第三类情况的时间代价 ，合并后问题求解的总的时间按复杂度可由下列公式来：
【源代码】
//最近点对问题，蛮力法实现(C++)
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<math.h>
#define MAX 99999
using namespace std;
double closestPoints(double x[],double y[],int n){
double x1,x2,y1,y2; //记录下标
double dist,minDist=MAX;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=i+1;j<n;j++){
dist=(x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]); //计算距离
if(dist<minDist){
minDist=dist;
x1=x[i];y1=y[i];
x2=x[j];y2=y[j];
}
}
cout<<"最近点对为：("<<x1<<","<<y1<<")-("<<x2<<","<<y2<<")"; //输出坐标
return minDist;
}
int main(){
double x[100],y[100];
double minDist;
int n;
cout<<"输入点的个数：\n";
cin>>n;
cout<<"输入点集的坐标：\n";
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>x[i]>>y[i];
minDist=closestPoints(x,y,n);
cout<<"其距离为：\n"<<sqrt(minDist);
return 0;
}
//分治法求解最近点对问题(C++)
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
struct point{ //点结构
double x,y;
};
double Distance(point a,point b){
return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
bool cmp(point a,point b){ //按y升排序辅助函数
return a.y<b.y;
}
bool cmp2(point a,point b){ //按x升排序辅助函数
return a.x<b.x;
}
double closestPoint(point s[],int low,int high,point rec[]){
double d1,d2,d3,d;
int mid,i,j,index;
double x1,y1,x2,y2; //记录点对的位置
point P[high-low+1],temp1[2],temp2[2],temp3[2]; //辅助空间
if(high-low==1){ //两个点的情况
rec[0].x=s[low].x;rec[0].y=s[low].y;
rec[1].x=s[high].x;rec[1].y=s[high].y;
return Distance(s[low],s[high]);
}
if(high-low==2){ //三个点的情况
d1=Distance(s[low],s[low+1]);
d2=Distance(s[low+1],s[high]);
d3=Distance(s[low],s[high]);
if((d1<d2)&&(d1<d3)){
rec[0].x=s[low].x;rec[0].y=s[low].y;
rec[1].x=s[low+1].x;rec[1].y=s[low+1].y;
return d1;
}
else if(d2<d3){
rec[0].x=s[low+1].x;rec[0].y=s[low+1].y;
rec[1].x=s[high].x;rec[1].y=s[high].y;
return d2;
}
else {
rec[0].x=s[low].x;rec[0].y=s[low].y;
rec[1].x=s[high].x;rec[1].y=s[high].y;
return d3;
}
}
mid=(low+high)/2; //其他情况递归
d1=closestPoint(s,low,mid,rec);
temp1[0]=rec[0];
temp1[1]=rec[1];
d2=closestPoint(s,mid+1,high,rec);
temp2[0]=rec[0];
temp2[1]=rec[1];
if(d1<d2){
d=d1;
rec[0]=temp1[0];
rec[1]=temp1[1];
}
else {
d=d2;
rec[0]=temp2[0];
rec[1]=temp2[1];
}
index=0;
for(i=mid;(i>=low)&&((s[mid].x-s[i].x)<d);i--) //点集合p1
P[index++]=s[i];
for(i=mid+1;(i<=high)&&((s[i].x-s[mid].x)<d);i++) //点集合p2
P[index++]=s[i];
sort(P,P+index,cmp); //升序排列
for(i=0;i<index;i++){
for(j=j+1;j<index;i++){
if((P[j].y-P[i].y)>=d)
break;
else {
d3=Distance(P[i],P[j]);
if(d3<d){
rec[0].x=P[i].x;rec[0].y=P[i].y;
rec[1].x=P[j].x;rec[1].y=P[j].y;
d=d3;
}
}
}
}
return d;
}
int main(){
point p[10]; //设定点的集合
int n;
double minDist;
cout<<"输入点的个数：\n"; //输入点的个数
cin>>n;
cout<<"输入点集:（x,y）\n";
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>p[i].x>>p[i].y;
sort(p,p+n,cmp2); //对输入的点先排序
point index[2];
minDist=closestPoint(p,0,n-1,index);
cout<<"最小距离点对为：("<<index[0].x<<","<<index[0].y<<"),("<<index[1].x<<","<<index[1].y<<")\n";
cout<<"最小距离为：\n"<<minDist; //输出点对的最小问题
return 0;
}